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符号測度の絶対連続性 📂測度論

符号測度の絶対連続性

定義1

可測空間 (X,E)(X, \mathcal{E}) における 符号付き測度 ν\nu と 正の測度 μ\mu が与えられているとする。すべての E∈EE \in \mathcal{E} に対して

μ(E)=0  ⟹  ν(E)=0 \mu (E) = 0 \implies \nu (E) = 0

この場合、ν\nu は μ\mu に対して絶対連続であるabsolutely continuousといい、ν≪μ\nu \ll \mu と表示される。

説明

絶対連続

これは測度に対する絶対連続の一般化である。絶対連続な測度のように、次の同値条件が成り立つ。

ν≪μ  ⟺  ∀ε>0,∃δ>0:E∈E,μ(E)<δ  ⟹  ∣ν(E)∣<ε \nu \ll \mu \\ \iff \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : E \in \mathcal{E}, \mu ( E ) < \delta \implies |\nu (E)| < \varepsilon

証明

ν≪μ   ⟺  ∣ν∣≪μ\nu \ll \mu\ \iff |\nu| \ll \mu かつ、∣ν(E)∣≤∣ν∣(E)| \nu (E)| \le |\nu| (E) であるから、ν=\nu=∣ν∣| \nu|を仮定して証明してもよい。正の測度に対してこちらで論じられていることが成立するので、証明完了

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また、各符号付き測度 ν\nu の変動 ∣ν∣|\nu|, ν+\nu^{+}, ν−\nu^{-}が正の測度 μ\mu と相互に特異であることが同値であったように、絶対連続もまたそうである。

定理1

以下の三つの条件は全て同値である。

  • (a) ν≪μ\nu \ll \mu
  • (b) ∣ν∣≪μ| \nu | \ll \mu
  • (c) ν+≪μandν−≪μ\nu^{+} \ll \mu \quad \text{and} \quad \nu^{-} \ll \mu

証明

  • (a)   ⟹  \implies (b)

    E∈EE\in \mathcal{E} に対して、μ(E)=0\mu (E)=0 としよう。μ\mu は正の測度であるから、全ての F⊂EF\subset E、F∈EF \in \mathcal{E} に対して μ(F)=0\mu (F)=0が成り立つ。それにより、仮定により以下が成り立つ。

    ν(F)=0,∀F⊂E \nu (F) =0,\quad \forall F\subset E

    従って、零集合の定義により、EE は ν\nu-nullである。EEが ν\nu-nullならば ∣ν∣|\nu |-nullなので、以下が成り立つ。

    ∣ν∣(E)=0 | \nu| (E)=0

    従って、μ(E)=0\mu (E)=0 の時、∣ν∣(E)=0| \nu |(E)=0 が成り立つので、以下を得る。

    ∣ν∣≪μ | \nu | \ll \mu

  • (b)   ⟹  \implies (c)

    証明方法は上と同じなので、具体的な説明は省略する。μ(E)=0\mu (E)=0 としよう。すると、EE は ∣ν∣| \nu |-nullである。それにより、EE が ν+\nu^{+}null、ν−\nu^{-}null ならば、ν+(E)=0=ν−(E)\nu^{+} (E)=0=\nu^{-} (E) である。従って、μ(E)=0\mu (E)=0 の時は常に ν+(E)=0=ν−(E)\nu^{+} (E)=0=\nu^{-} (E) であるので、以下を得る。

    ν+≪μandν−≪μ \nu^{+} \ll \mu \quad \text{and} \quad \nu^{-} \ll \mu

  • (c)   ⟹  \implies (a)

    証明方法は上と同じなので、具体的な説明は省略する。μ(E)=0\mu (E)=0 としよう。すると、EE が ν+\nu^{+}null、ν−\nu^{-}nullであることから ν\nu-nullである。従って、μ(E)=0\mu (E)=0 の時は常に ν(E)=0\nu (E)=0 であり、以下を得る。

    ν≪μ \nu \ll \mu

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定理2

ν⊥μ\nu \perp \muであり、かつ ν≪μ\nu \ll \mu であれば、ν=0\nu=0 である。言い換えれば、ν\nu は定数関数 00 である。

証明

E∪F=XE \cup F=XとE∩F=∅E \cap F=\varnothingが与えられ、ν\nu-nullのEEとμ\mu-nullのFFが存在する。FFがμ\mu-nullであり、ν\nuがμ\muに対して絶対連続であるため、μ(F)=ν(F)=0\mu (F)=\nu (F)=0が成り立つ。今、A∈EA \in \mathcal{E}としよう。すると、以下が成り立つ。

ν(A)=ν(A∩E)+ν(A∩F)=0+0=0,∀A∈E \nu (A) =\nu (A \cap E) + \nu (A\cap F)=0+0=0,\quad \forall A\in \mathcal{E}

従って、ν\nuは定数関数00である。

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参照

  1. Gerald B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (2nd Edition, 1999), p88-89 ↩︎