📂測度論

ラドン-ニコディム微分

定理 ¹

可測空間 $( \Omega , \mathcal{F} )$ が与えられているとしよう。測度 $\mu$、$\nu$が$\mu ( \Omega ) = 1$および全ての$F \in \mathcal{F}$に対して$0 \le \nu (F) \le \mu (F)$を満たす場合、全ての$F \in \mathcal{F}$に対して $$ \nu (F) = \int_{F} h d \mu $$ を満たしつつ$h \ge 0$である$\mathcal{F}$-可測関数$h : \Omega \to \mathbb{R}$が存在する。この$h$を$\displaystyle h := {{d \nu } \over {d \mu }}$として表し、$\mu$に対する$\nu$のラドン-ニコディム微分という。

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• ある関数 $f$が**$\mathcal{F}$-可測関数**であるとは、全てのボレル集合 $B \in \mathcal{B} ( \Omega )$に対して$f^{-1} (B) \in \mathcal{F}$であることを意味する。

説明

定理の前提条件$\mu ( \Omega ) = 1$により、$\Omega$は確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , \mu )$になり得る。

ラドン-ニコディム微分の命名は非常に直感的だと言える。正確な論証は一旦置いておくとして、そのままの意味で扱うと次のように展開できる。基礎解析学の微分とは異なり、形式に概念を合わせたものである。 $$ \begin{align*} \int_{F} h d \mu =& \int_{F} {{d \nu } \over {d \mu }} d \mu \\ =& \int_{F} d \nu \\ =& \nu ( F) \end{align*} $$

ラドン-ニコディム定理は、このようなラドン-ニコディム微分が唯一に存在することを、いくつかの条件が与えられた時に保証する。

証明

Part 1. $\displaystyle h_{\mathcal{P}} = {{\nu} \over {\mu}}$

分割$ \mathcal{P} := \left\{ A_{1} , \cdots , A_{k} \right\}$および$\omega \in A_{i}$に対して、$h_{\mathcal{P}} : \Omega \to \mathbb{R}$を次のように定義しよう。 $$ h_{\mathcal{P}} ( \omega ) = \begin{cases} \displaystyle {{\nu (A_{i} ) } \over {\mu (A_{i} ) }} &, \mu ( A_{i} ) > 0 \\ 0 &, \text{otherwise} \end{cases} $$ $A_{i}$が決まった場合、定義により、$\omega \in A_{i}$がどのようになっても$A_{i}$では定数関数$h_{\mathcal{P}} ( \omega ) = c_{i}$として扱える。これにより、 $$ \begin{align*} \int_{A_{i}} h_{\mathcal{P}} d \mu =& \int_{A_{i}} {{\nu (A_{i} ) } \over {\mu (A_{i} ) }} d \mu \\ =& \nu (A_{i} ) {{1 } \over {\mu (A_{i} ) }} \int_{A_{i}} d \mu \\ =& \nu (A_{i} ) {{1 } \over {\mu (A_{i} ) }} \mu ( A_{i} ) \\ =& \nu (A_{i} ) \end{align*} $$ が計算される。次のような補助定理を証明しよう。

• Part 1-1.
  $\Omega$の全ての$\mathcal{P}$および全ての$\omega \in \Omega$に対し、$0 \le h_{\mathcal{P}} \le 1$全ての$F \in \mathcal{F}$に対して$0 \le \nu (F) \le \mu (F)$を満たすので、 $$\displaystyle 0 \le h_{\mathcal{P}} = {{\nu (F)} \over {\mu (F)}} \le 1$$
• Part 1-2.
  $$A = \bigsqcup_{j \in J} A_{j} \implies \nu (A) = \int_{A} h_{\mathcal{P}} d \mu$$ $\bigsqcup$は分離合併集合で、$J \subset \left\{ 1 , \cdots, k \right\}$はインデックスの集合である。測度の性質により、 $$ \begin{align*} \nu (A) =& \sum_{j \in J} \nu ( A_{j} ) \\ =& \sum_{j \in J} \int_{A_{j}} h_{\mathcal{P}} d \mu \\ =& \int_{A} h_{\mathcal{P}} d \mu \end{align*} $$ 一方で、σ-フィールドの定義より$\Omega \in \mathcal{F}$なので、自然と$\displaystyle \nu ( \Omega ) = \int_{ \Omega } h_{\mathcal{P}} d \mu$が成立する。
• Part 1-3.
  • Part 1-3-1. 全ての$A \in \mathcal{P}_{1}$に対して$\displaystyle \int_{A} h_{1} d \mu = \int_{A} h_{2} d \mu$である。
    $\mathcal{P}_{2}$を$\mathcal{P}_{1}$の細分とし、便宜上$h_{n} := h_{\mathcal{P}_{n}}$と表すことにする。細分の定義により、全ての$A \in \mathcal{P}_{1}$に対して$\displaystyle A = \bigsqcup_{j \in J} B_{j}$を満たす$B_{j} \in \mathcal{P}_{2}$が存在する。したがって、 $$ \begin{align*} \int_{A} h_{1} d \mu =& \nu (A) \\ =& \sum_{j \in J} \nu ( B_{j} ) \\ =& \sum_{j \in J} \int_{B_{j}} h_{2} d \mu \\ =& \int_{A} h_{2} d \mu \end{align*} $$
  • Part 1-3-2. 全ての$A \in \mathcal{P}_{1}$に対して$\displaystyle \int_{A} h_{1} h_{2} d \mu = \int_{A} h_{1}^{2} d \mu$である。 $$\begin{align*} \int_{A} h_{1} h_{2} d \mu =& {{\nu (A ) } \over {\mu (A ) }} \int_{A} h_{2} d \mu \\ =& {{\nu (A ) } \over {\mu (A ) }} \nu (A ) \\ =& \int_{A} \left[ {{\nu (A ) } \over {\mu (A ) }} \right]^2 d \mu \\ =& \int_{A} h_{1}^{2} d \mu \end{align*} $$
• Part 1-4.
  • Part 1-4-1. $\displaystyle \int_{A} ( h_{2} - h_{1} )^2 d \mu = \int_{A} \left[ h_{2}^{2} - h_{1}^{2} \right] d \mu$
    Part 1-3-2により、全ての$A \in \mathcal{P}_{1}$に対して$\displaystyle \int_{A} h_{1} ( h_{2} - h_{1} ) d \mu = 0$が成り立ち、Part 1-2により、$\displaystyle \int_{ \Omega } h_{1} ( h_{2} - h_{1} ) d \mu = 0$も同様に成り立つ。それならば、 $$ \begin{align*} \int_{A} ( h_{2} - h_{1} )^2 d \mu =& \int_{A} \left( h_{2}^{2} - 2 h_{2} h_{1} + h_{1}^{2} \right) d \mu \\ =& \int_{A} \left[ h_{2}^{2} - 2 h_{1} (h_{2} - h_{1}) - h_{1}^{2} \right] d \mu \\ =& \int_{A} \left[ h_{2}^{2} - h_{1}^{2} \right] d \mu \end{align*} $$
  • Part 1-4-2. $\displaystyle \int_{\Omega} h_{1}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{2}^{2} d \mu$
    $$\begin{align*} \int_{\Omega} h_{2}^{2} d \mu =& \int_{\Omega} h_{1}^{2} d \mu + \int_{\Omega} (h_{2} - h_{1})^{2} d \mu \\ \ge& \int_{\Omega} h_{1}^{2} d \mu \end{align*} $$

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Part 2. $\displaystyle h := \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}}$

Part 1-4-2で、$\mathcal{P}$の細分$\mathcal{P} ' $について$\displaystyle \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{P} ' }^{2} d \mu$が成り立つことが確認された。また、Part 1-1で$0 \le h_{\mathcal{P}} \le 1$であり、仮定では$\mu ( \Omega ) = 1$だったので、$c := \sup \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}}^{2} d \mu$は$0$と$1$の間に存在する。[ NOTE: 実際には$\mu ( \Omega ) \ne 1$でも、$\mu ' := \mu / \mu ( \Omega)$のように置き換えてもいい。] 与えられた$n \in \mathbb{N}$に対して、$\displaystyle \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}_{n}}^{2} d \mu > c - {{1} \over {4^{n}}}$を満たす細分$\mathcal{P}_{n}$および$\left\{ \mathcal{P}_{i} \right\}_{i=1}^{n}$の両方になる細分$\mathcal{Q}_{n}$を考える。それならば、当然$\mathcal{Q}_{n+1}$は$\mathcal{Q}_{n}$の細分であり、次の不等式を満たす。 $$ c - {{1} \over {4^{n}}} \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{P}_{n}}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{Q}_{n}}^{2} d \mu \le \int_{\Omega} h_{\mathcal{Q}_{n+1}}^{2} d \mu \le c $$ Part 1-4-1により、二乗$^2$が括弧の中に入るので、 $$ \int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right)^{2} d \mu = \int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}}^{2} - h_{\mathcal{Q}_{n}}^{2} \right) d \mu < {{1} \over {4^{n}}} $$

コーシー・シュワルツの不等式: $f,g \in \mathcal{L}^{2} (E)$の場合、$fg \in L^{1}(E)$であり、 $$ \left\| \int_{E} f \overline{g} dm \right\| \le \left\| f g \right\|_{1} \le \left\| f \right\|_{2} \left\| g \right\|_{2} $$

コーシー・シュワルツの不等式で、$f = | h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} |$、$g = 1$とすると、全ての$n \in \mathbb{N}$に対して、 $$ \begin{align*} \int_{\Omega} \left| h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right| d \mu \le & \sqrt{ \int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right)^{2} d \mu } \sqrt{ \int_{\Omega} 1 d \mu } \\ =& \sqrt{\int_{\Omega} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}}^{2} - h_{\mathcal{Q}_{n}}^{2} \right) d \mu} \sqrt{ \mu ( \Omega ) } \\ <& {{1} \over {2^{n}}} \cdot 1 \end{align*} $$

レヴィの定理: $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \int |f_{k}| dm < \infty$ならば、$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} (x)$はほぼ至る所で収束し、 $$ \int \sum_{k=1}^{\infty} f_{k} dm = \sum_{k=1}^{\infty} \int f_{k} dm $$

$\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} \int_{\Omega} \left| h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right| d \mu < \infty$であるため、レヴィの定理により、 $$ \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} - h_{\mathcal{Q}_{1}} $$ は$\mu$に対してほぼ至る所で収束する。今、$h$を次のように定義しよう。 $$ h := h_{\mathcal{Q}_{1}} + \sum_{n \in \mathbb{N}} \left( h_{\mathcal{Q}_{n+1}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} \right) = \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} $$

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Part 3. $\displaystyle \nu (F) = \int_{F} h d \mu$

$h$の定義により、$0 \le h \le 1$は$\mathcal{F}$-メジャラブルである。今、全ての$F \in \mathcal{F}$に対して$\displaystyle \nu (F) = \int_{F} h d \mu $であることを示せば良い。$F \in \mathcal{F}$を一つ固定し、$\mathcal{R}_{n}$を$\mathcal{Q}_{n}$と$\left\{ F , F^{c} \right\}$の共通の細分パーティションとして定義する。すると、Part 1-2で示された$\displaystyle A = \bigsqcup_{j \in J} A_{j} \implies \nu (A) = \int_{A} h_{\mathcal{P}} d \mu$により、全ての$n \in \mathbb{N}$に対して、 $$ \begin{align*} \nu (F) =& \int_{F} h_{ \mathcal{R}_{n} } d \mu \\ =& \int_{F} ( h_{ \mathcal{R}_{n} } - h_{ \mathcal{Q}_{n} } )d \mu + \int_{F} h_{ \mathcal{Q}_{n} } d \mu \end{align*} $$ が成り立つ。一方で、$\mathcal{R}_{n}$に対してPart 2と同様にコーシー・シュワルツの不等式を使用すると、$\displaystyle \left| \int_{\Omega} h_{\mathcal{R}_{n}} - h_{\mathcal{Q}_{n}} d \mu \right| < {{1} \over {2^{n}}}$を得ることができるので、 $$ \nu (F) =0 + \lim_{n \to \infty} \int_{F} h_{ \mathcal{Q}_{n} } d \mu $$

支配収束定理: 可測集合$E \in \mathcal{M}$および$g \in \mathcal{L}^{1} (E)$に対して、可測関数列$\left\{ f_{n} \right\}$が$E$のほぼ至る所で$|f_{n}| \le g$を満たすとする。もし$E$のほぼ至る所で$\displaystyle f = \lim_{n \to \infty} f_{n}$が成立するならば、$f \in \mathcal{L}^{1}(E)$そして、 $$ \lim_{ n \to \infty} \int_{E} f_{n} (x) dm = \int_{E} f dm $$

全ての$n \in \mathbb{N}$に対して$0 \le h_{\mathcal{Q}_{n}} \le 1$であり、Part 2で$h$が$\displaystyle h := \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}}$として定義されたので、支配収束定理により、 $$ \begin{align*} \nu (F) =& \lim_{n \to \infty} \int_{F} h_{ \mathcal{Q}_{n} } d \mu \\ =& \int_{F} h d \mu \end{align*} $$

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一方で、上記の証明のPart 1~2から次のような推論を得る。

推論

全ての$n \in \mathbb{N}$に対して、$\mathcal{Q}_{n+1}$が$\mathcal{Q}_{n}$の細分であれば、 $$ \lim_{n \to \infty} h_{\mathcal{Q}_{n}} = \lim_{n \to \infty} {{\nu} \over {\mu}} = {{d \nu } \over {d \mu }} $$