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ウィーク・コーン条件

ウィーク・コーン条件

定義1

ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n}開いた集合としよう。任意の点xΩx \in \Omegaが与えられたとする。R(x)R(x)xxからyΩy \in \Omegaにかけての線分が再びΩ\Omegaに含まれるようにするyyたちの集合だとしよう。つまり、R(x)R(x)xxから始まりΩ\Omega内のすべての線分上の点たちの集合だ。そしてΓ(x)\Gamma (x)を以下のように定義しよう。

Γ(x):= {yR(x):yx<1}= R(x)B(x,1) \begin{align*} \Gamma (x) :=&\ \left\{ y \in R(x) : |y-x| \lt 1\right\} \\ =&\ R(x) \cap B(x,1) \end{align*}

下の条件を満たすδ>0\delta \gt 0が存在するならば、Ω\Omegaは弱いコーン条件weak cone conditionを満たしていると言われる。

μn(Γ(x))δ, xΩ \mu_{n} \Big( \Gamma (x) \Big) \ge \delta, \quad \forall\ x \in \Omega

この時、μn\mu_{n}ルベーグ測度である。


  1. Robert A. Adams と John J. F. Foutnier, Sobolev Space (第2版, 2003), p82 ↩︎