ウィーク・コーン条件

定義¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開いた集合としよう。任意の点$x \in \Omega$が与えられたとする。$R(x)$を$x$から$y \in \Omega$にかけての線分が再び$\Omega$に含まれるようにする$y$たちの集合だとしよう。つまり、$R(x)$は$x$から始まり$\Omega$内のすべての線分上の点たちの集合だ。そして$\Gamma (x)$を以下のように定義しよう。

$$ \begin{align*} \Gamma (x) :=&\ \left\{ y \in R(x) : |y-x| \lt 1\right\} \\ =&\ R(x) \cap B(x,1) \end{align*} $$

下の条件を満たす$\delta \gt 0$が存在するならば、$\Omega$は弱いコーン条件^{weak cone condition}を満たしていると言われる。

$$ \mu_{n} \Big( \Gamma (x) \Big) \ge \delta, \quad \forall\ x \in \Omega $$

この時、$\mu_{n}$はルベーグ測度である。