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時間遅延の勾配 📂電磁気学

時間遅延の勾配

概要

時遅れの勾配は、次の通りだ。

∇tr=−1c \nabla t_{r}=-\frac{1}{c} \crH

証明

2.png

=c(t−tr)\acR = c(t -t_{r})であり、ttは空間変数と無関係なので

∇=∇(−ctr)=−c∇tr \nabla \cR =\nabla(-c t_{r})=-c \nabla t_{r}

だから、時遅れの勾配は、∇\nabla \cRを計算することで求められる。

∇=∇⋅=12⋅∇(⋅)=12∇(⋅)=12[×(∇×)+×(∇×)+(⋅∇)+(⋅∇)]=1[×(∇×)+(⋅∇)] \begin{align} \nabla \cR &= \nabla \sqrt{\bcR \cdot \bcR} \nonumber \\ &= \frac{1}{2\sqrt{\bcR\cdot \bcR}} \nabla (\bcR \cdot \bcR ) \nonumber \\ &= \frac{1}{2\cR} \nabla (\bcR \cdot \bcR ) \nonumber \\ &= \frac{1}{2\cR} \Big[ \bcR \times (\nabla \times \bcR ) + \bcR \times (\nabla \times \bcR) + (\bcR \cdot \nabla)\bcR +(\bcR \cdot \nabla)\bcR\Big] \nonumber \\ &= \frac{1}{\cR} \Big[\bcR\times (\nabla \times \bcR) + (\bcR \cdot \nabla) \bcR \Big] \end{align}

四番目の等号は、乗算規則 (b)により成立する。これで、残りの計算を一つずつしてみよう。

  • Part 1. (⋅∇)(\bcR \cdot \nabla)\bcR

(⋅∇)=(⋅∇)r−(⋅∇)w=−v(⋅∇tr) \begin{align*} (\bcR \cdot \nabla ) \bcR &= (\bcR \cdot \nabla ) \mathbf{r} - ( \bcR \cdot \nabla) \mathbf{w} \\ &= \bcR - \mathbf{v} ( \bcR \cdot \nabla t_{r}) \end{align*}

二番目の等号は、任意のベクトルA\mathbf{A}に対して、(A⋅∇)r=A(\mathbf{A} \cdot \nabla )\mathbf{r}=\mathbf{A}1と(⋅∇)A=∂A∂tr(⋅∇tr)(\abcR \cdot \nabla)\mathbf{A}=\dfrac{\partial \mathbf{A} }{\partial t_{r}}(\abcR \cdot \nabla t_{r})2であるから、(⋅∇)r=(\bcR \cdot \nabla )\mathbf{r}=\bcRと(⋅∇)w=v(⋅∇tr)( \bcR \cdot \nabla ) \mathbf{w} = \mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_{r})が成立するためだ。

  • Part 2. ∇×\nabla \times \bcR

∇×=∇×r−∇×w=−∇×w=−(−v×∇tr)=v×∇tr \begin{align*} \nabla \times \bcR &= \nabla \times \mathbf{r} -\nabla \times \mathbf{w} \\ &= -\nabla \times \mathbf{w} \\ &= -(- \mathbf{v} \times \nabla t_{r} ) \\ &= \mathbf{v} \times \nabla t_{r} \end{align*}

二番目の等号は、∇×r=0\nabla \times \mathbf{r}=0であるため成立する。r\mathbf{r}の各成分は他の成分と独立なので、当然の結果だ。何を言っているのかわからないなら、r=xx^+yy^+zz^\mathbf{r}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}として、直接計算してみて。三番目の等号は、任意のベクトルA\mathbf{A}に対して、∇×A=−∂A∂t×∇tr\nabla \times \mathbf{A} = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \times \nabla t_{r}3が∇×w=−v×∇tr\nabla \times \mathbf{w}=-\mathbf{v}\times\nabla t_{r}であるため成立する。

  • Part 3. 結論

だから、この二つの結果を(1)(1)に代入すると

∇=1[−v(⋅∇tr)+×(v×∇tr)]=1[−v(⋅∇tr)+v(⋅∇tr)−∇tr(⋅v)]=1[−∇tr(⋅v)] \begin{align*} \nabla \cR &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_{r}) + \bcR \times (\mathbf{v} \times \nabla t_{r}) \Big] \\ &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_{r}) + \mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_{r})-\nabla t_{r}(\bcR \cdot \mathbf{v}) \Big] \\ &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\nabla t_{r} (\bcR \cdot \mathbf{v} )\Big] \end{align*}

二番目の等号は、BAC-CAB公式によって成立する。要約すると、

−c∇tr=∇=1[−∇tr(⋅v)]  ⟹  −∇tr(⋅v)=−∇tr  ⟹  ∇tr=−c−(⋅v) \begin{align*} && -c \nabla t_{r} = \nabla \cR &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\nabla t_{r} (\bcR \cdot \mathbf{v} )\big] \\ \implies && \bcR - \nabla t_{r}(\bcR \cdot \mathbf{v}) &= -\cR \nabla t_{r} \\ \implies && \nabla t_{r} &= \frac{-\bcR}{\cR c - (\bcR \cdot \mathbf{v})} \end{align*}

これは、電荷が動かない場合にも適用される一般的な結果だ。tr=t−ct_{r}=t-\frac{\cR}{c}なので、

∇tr=−∇c=−1c∇ \nabla t_{r} = -\nabla \frac{\cR}{c}=-\frac{1}{c} \nabla \cR

この時、∇=\nabla \acR = \acrHなので、

∇tr=−1c \nabla t_{r}=-\frac{1}{c} \crH

この結果からv=0\mathbf{v}=\mathbf{0}を代入すると、同じになる。

■

  1. 두 번째 항 참고 ↩︎

  2. 첫 번째 항 참고 ↩︎

  3. 三番目の項を参照 ↩︎