時間遅延の勾配
概要
$$ \nabla t_{r}=-\frac{1}{c} \crH $$
証明
$\acR = c(t -t_{r})$であり、$t$は空間変数と無関係なので
$$ \nabla \cR =\nabla(-c t_{r})=-c \nabla t_{r} $$
だから、時遅れの勾配は、$\nabla \cR$を計算することで求められる。
$$ \begin{align} \nabla \cR &= \nabla \sqrt{\bcR \cdot \bcR} \nonumber \\ &= \frac{1}{2\sqrt{\bcR\cdot \bcR}} \nabla (\bcR \cdot \bcR ) \nonumber \\ &= \frac{1}{2\cR} \nabla (\bcR \cdot \bcR ) \nonumber \\ &= \frac{1}{2\cR} \Big[ \bcR \times (\nabla \times \bcR ) + \bcR \times (\nabla \times \bcR) + (\bcR \cdot \nabla)\bcR +(\bcR \cdot \nabla)\bcR\Big] \nonumber \\ &= \frac{1}{\cR} \Big[\bcR\times (\nabla \times \bcR) + (\bcR \cdot \nabla) \bcR \Big] \end{align} $$
四番目の等号は、乗算規則 (b)により成立する。これで、残りの計算を一つずつしてみよう。
- Part 1. $(\bcR \cdot \nabla)\bcR$
$$ \begin{align*} (\bcR \cdot \nabla ) \bcR &= (\bcR \cdot \nabla ) \mathbf{r} - ( \bcR \cdot \nabla) \mathbf{w} \\ &= \bcR - \mathbf{v} ( \bcR \cdot \nabla t_{r}) \end{align*} $$
二番目の等号は、任意のベクトル$\mathbf{A}$に対して、$(\mathbf{A} \cdot \nabla )\mathbf{r}=\mathbf{A}$1と$(\abcR \cdot \nabla)\mathbf{A}=\dfrac{\partial \mathbf{A} }{\partial t_{r}}(\abcR \cdot \nabla t_{r})$2であるから、$(\bcR \cdot \nabla )\mathbf{r}=\bcR$と$( \bcR \cdot \nabla ) \mathbf{w} = \mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_{r})$が成立するためだ。
- Part 2. $\nabla \times \bcR$
$$ \begin{align*} \nabla \times \bcR &= \nabla \times \mathbf{r} -\nabla \times \mathbf{w} \\ &= -\nabla \times \mathbf{w} \\ &= -(- \mathbf{v} \times \nabla t_{r} ) \\ &= \mathbf{v} \times \nabla t_{r} \end{align*} $$
二番目の等号は、$\nabla \times \mathbf{r}=0$であるため成立する。$\mathbf{r}$の各成分は他の成分と独立なので、当然の結果だ。何を言っているのかわからないなら、$\mathbf{r}=x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}$として、直接計算してみて。三番目の等号は、任意のベクトル$\mathbf{A}$に対して、$\nabla \times \mathbf{A} = -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} \times \nabla t_{r}$3が$\nabla \times \mathbf{w}=-\mathbf{v}\times\nabla t_{r}$であるため成立する。
- Part 3. 結論
だから、この二つの結果を$(1)$に代入すると
$$ \begin{align*} \nabla \cR &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_{r}) + \bcR \times (\mathbf{v} \times \nabla t_{r}) \Big] \\ &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_{r}) + \mathbf{v}(\bcR \cdot \nabla t_{r})-\nabla t_{r}(\bcR \cdot \mathbf{v}) \Big] \\ &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\nabla t_{r} (\bcR \cdot \mathbf{v} )\Big] \end{align*} $$
二番目の等号は、BAC-CAB公式によって成立する。要約すると、
$$ \begin{align*} && -c \nabla t_{r} = \nabla \cR &= \frac{1}{\cR} \Big[ \bcR -\nabla t_{r} (\bcR \cdot \mathbf{v} )\big] \\ \implies && \bcR - \nabla t_{r}(\bcR \cdot \mathbf{v}) &= -\cR \nabla t_{r} \\ \implies && \nabla t_{r} &= \frac{-\bcR}{\cR c - (\bcR \cdot \mathbf{v})} \end{align*} $$
これは、電荷が動かない場合にも適用される一般的な結果だ。$t_{r}=t-\frac{\cR}{c}$なので、
$$ \nabla t_{r} = -\nabla \frac{\cR}{c}=-\frac{1}{c} \nabla \cR $$
この時、$\nabla \acR = \acrH$なので、
$$ \nabla t_{r}=-\frac{1}{c} \crH $$
この結果から$\mathbf{v}=\mathbf{0}$を代入すると、同じになる。
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