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Lp 空間に対するリース表現定理

定理¹

${L}^{\ p}$空間に対するリース表示定理

$1<p<\infty$で、$L\in \big( {L}^{\ p} \big)^{\ast}$とする。この時、$({L}^{\ p})^{\ast}$は${L}^{\ p}$空間の双対である。したがって、全ての$u\in {L}^{\ p}$に対して、次の式を満たす$v \in {L}^{\ p^{\prime}}$が存在する。

$$ L(u)=L_{v}(u)=\int_{\Omega} u(x)v(x)dx $$

説明

$p=1$のケースは含まれていないことに注意。

$\left\| v \right\|_{p^{\prime}} =\left\| L\ ; ({L}^{\ p})^{\ast}\right\|$を満たすと、$f\ :\ ({L}^{\ p})^{\ast} \rightarrow {L}^{\ p^{\prime}}$は等長写像になる。したがって、$({L}^{\ p})^{\ast}\cong {L}^{\ p^{\prime}}$であるから、${L}^{\ p^{\prime}}$を${L}^{\ p}$の双対と考えることができる。

この時、$p^{\prime}$は$p$の共役指数である。元々リース表示定理はヒルベルト空間に対して成立する定理だ。${L}^{\ p}$空間は一般にヒルベルト空間ではないから、リース表示定理をそのまま適用することはできない。しかし、${L}^{\ p}$空間もリース表示定理で言われているような性質を持っているというのが上の定理だ。内容をもう少し具体的に説明すると、次のようになる。

${L}^{\ p}$空間上で定義された任意の線形汎関数 $L \in ({L}^{\ p})^{\ast}$が一つ選ばれたとする。すると、これに対応する唯一の$v \in {L}^{\ p^{\prime}}$が存在する。そして、次の式を満たす。

$$ L(u)=\int u(x)v(x) dx $$

つまり、$({L}^{\ p})^{\ast}$空間の元 $L$ と ${L}^{\ p^{\prime}}$空間の元 $v$ がペアになり、$L$に $u$を代入した値である $L(u)$ と $v(x)$に $u(x)$を掛けて積分した値である $\int u(x)v(x)dx$ が 互いに等しい ということだ。さらに、$({L}^{\ p})^{\ast}$と${L}^{\ p^{\prime}}$が等長であるため、${L}^{\ p^{\prime}}$空間を実質的に${L}^{\ p}$空間の双対と考えることができるということだ。また、$p$と$p^{\prime}$は互いの共役指数であるから、逆に${L}^{\ p}$空間を実質的に${L}^{\ p^{\prime}}$空間の双対と考えることもできる。

リース表示定理

$X$をヒルベルト空間とする。すると、以下の二つの文は互いに同値である。

$(a)$ $x^{\ast}$は$X$上で定義された線形汎関数である。

$(b)$ すべての$y\in X$に対して、$x^{\ast}(y)=\langle x,\ y\rangle_{X}$を満たす唯一の$x\in X$が存在する。また、$| x^{\ast}\ ; X^{\ast}|=|x\ ;X|$である。$\langle \cdot,\ \cdot \rangle_{X}$は$X$で定義された内積である。

リース表示定理は$X$がヒルベルト空間である時、$X$とその双対$X^{\ast}$の間にどのような関係があるかについて教えてくれる定理だ。簡単に言うと、線形汎関数$x^{\ast} \in X^{\ast}$が与えられたら、これに対応する唯一の$x\in X$があり、全ての$y \in X$に対して、$x^{\ast}(y)$と$\langle x,\ y \rangle_{X}$の値が同じであるという意味だ。

補題

$1 < p < \infty$とする。

• $(c)$ もし$L\in ({L}^{\ p})^{\ast}$でかつ$| L\ ; ({L}^{\ p})^{\ast}|=1$なら、$\left\| w \right\|_{p}=L(w)=1$を満たす唯一の$w \in {L}^{\ p}$が存在する。

• $(d)$ 逆に、もし$w \in {L}^{\ p}$でかつ$\left\| w \right\|_{p}=1$なら、$|L\ ;({L}^{\ p})^{\ast}|=L(w)=1$を満たす唯一の$L \in ({L}^{\ p})^{\ast}$が存在する。

証明

証明の流れを簡単に説明すると以下の通り。 $|L|=1$と仮定 $\implies$ 補題の$(c)$により唯一の$w$が存在 $\implies$ 補題の$(d)$により唯一の$L$が存在 $\implies$ 定義された$v$が$L$と同じ性質を満足する $\implies$ $L$は唯一であるから、$L=L_{v}$が成立し、定理の他の内容も成立することがわかる

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• パート1 $L=0$

  $v=0$と置くと、定理が満たされる。

• パート2 $L\ne 0$

  任意の$L$が$|L\ ; ({L}^{\ p})^{\ast}|=\alpha$を満たすとする。すると、定数$\frac{1}{\alpha}$を掛けてノルムが1になるようにでき、$\frac{1}{\alpha}L$を再び$L$と呼ぶ。この過程を基に、一般性を失うことなく$|L\ ; ({L}^{\ p})^{\ast}|=1$と仮定できる。すると、補題$(c)$により、下の式を満たす$w \in {L}^{\ p}$が存在する。

  $$ \left\| w \right\|_{p}=1,\quad L(w)=1 $$

  そして、次のように$v$を定義する。

  $$ v(x) = \begin{cases} |w(x)|^{p-2}\overline{w(x)}, & w(x)\ne0 \\ 0, & \mathrm{otherwise} \end{cases} $$

  すると、以下の計算を通じて$v \in {L}^{\ p^{\prime}}$であることがわかる。

  $$ \begin{align*} \left\| v \right\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}} =&\ \int \left| |w(x)|^{p-2}\overline{w(x)} \right| ^{p^{\prime}} dx \\ =&\ \int |w(x)|^{(p-1)p^{\prime}} dx \\ =&\ \int |w(x)|^p dx \\ =&\ \left\| w \right\|_{p}^p =1< \infty \quad \cdots (1) \end{align*} $$

  そして、次のように$L_{v}$を定義する。$|L_{v}|=L_{v}(w)=1$を満たすことを示して、$L=L_{v}$を示そうとする。

  $$ L_{v}(u)=\int u(x)v(x)dx,\quad u\in {L}^{\ p} $$

  ノルム双対のノルムの定義によれば、

  $$ \begin{align*} |L_{v}(u)| \le& \int |u(x)v(x)| dx \\ \le& \| u \|_{p}\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \\ =&\ \left\| v \right\|_{p^{\prime}}=1 \end{align*} $$

  二行目はヘルダーの不等式によって、最後の行は$\left\| u \right\| \le 1$という条件と$(1)$によって成立する。したがって、$|L_{v}\ ; ({L}^{\ p})^{\ast}|=1$である。また、$L_{v}(w)=1$を満たすことも確認できる。

  $$ \begin{align*} L_{v}(w)=&\ \int |w(x)|^{p-2}\overline{w(x)}w(x) dx \\ =&\ \int |w(x)|^p dx \\ =&\ \left\| w \right\|_{p}^p=1 \end{align*} $$

  したがって、補題$(d)$により、$|L|=L(w)=1$を満たす$L$は唯一であるから、$L=L_{v}$である。したがって、$L\in ({L}^{\ p})^{\ast}$に対して唯一の$v \in {L}^{\ p^{\prime}}$が存在し、

  $$ L(u)=L_{v}(u)=\int u(x)v(x)dx $$

  を満たし、$\left\| v \right\|_{p^{\prime}}=|L; ({L}^{\ p})^{\ast}|$が真である。

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