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変分法およびオイラー-ラグランジュ方程式から導出されるハミルトン方程式 📂偏微分方程式

変分法およびオイラー-ラグランジュ方程式から導出されるハミルトン方程式

  • xやpに関して、偏微分方程式の変数として強調する場合は、普通の文字体でx,pRnx,p \in \mathbb{R}^{n}と表記し、ssの関数として強調する場合は、太字でx,pRn\mathbf{x}, \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n}と表記する。同じように、vも変数として強調する場合は普通の文字体でvRnv \in \mathbb{R}^{n}と表記し、関数として強調する場合は太字でvRn\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}で表示する。

ハミルトン方程式を導く方法には2つある。 1つはハミルトン-ヤコビ方程式の特性方程式を求める方法で、もう1つはこの記事で紹介するオイラー-ラグランジュ方程式から得られる方法だ。

定義1

x()A\mathbf{x}(\cdot)\in \mathcal{A}作用II極点とする。それならば、極点の定義によりx()\mathbf{x}(\cdot)は以下のオイラー-ラグランジュ方程式を満たす。

ddsDvL(x˙(s),x(s))+DxL(x˙(s),x(s))=0(0st) -\dfrac{d}{ds}D_{v} L\big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s)\big)+D_{x}L\big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s)\big)=0 \quad (0\le s \le t)

p\mathbf{p}を以下のように定義する。

p(s):=DvL(x˙(s),x(s))(0st) \begin{equation} \mathbf{p}(s) := D_{v}L\big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s)\big) \quad (0 \le s \le t) \label{eq1} \end{equation}

p\mathbf{p}は位置x(s)\mathbf{x}(s)と速度x˙(s)\dot{\mathbf{x}}(s)に対する一般化運動量generalized momentumと呼ばれる。

そして、すべてのp,xRnp, x \in \mathbb{R}^nに対してp=DvL(v,x)p=D_{v}L(v,x)を満たす唯一のv=v(p,x)Rnv=\mathbf{v}(p,x) \in \mathbb{R}^nが存在し、vCv\in C^\inftyとする。そうするとラグランジアンLLに関連するハミルトニアンHamiltonianHHを以下のように定義する。

H(p,x):=pv(p,x)L(v(p,x),x)(p,xRn) H(p,x):=p \cdot \mathbf{v}(p,x) - L(\mathbf{v}(p,x), x) \quad (p,x\in \mathbb{R}^n)

説明

古典力学では、ラグランジアン運動エネルギーからポテンシャルエネルギーを引いたものと定義される。

L=TV=12mv2+V(x) L = T - V = \dfrac{1}{2}mv^{2} + V(x)

p\mathbf{p}の計算を行うと、以下のようになるため、p\mathbf{p}を一般化運動量と呼ぶのが自然であることがわかる。

p=DvL=ddv(12mv2+V(x))=mv=p \mathbf{p} = D_{v}L = \dfrac{d}{dv} \left( \dfrac{1}{2}mv^{2} + V(x) \right) = mv = p

物理学では、ハミルトニアンは具体的には運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和、すなわち全エネルギーtotal energyを意味する。したがって、下で紹介する定理の結果である「写像sH(p(s),x(s))s \mapsto H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s)\big)は定数」ということは、時間によって全エネルギーが変わらない、つまり全エネルギーが保存されるということと同じである。

また、下の定理は、n個の2次常微分方程式(x(s)\mathbf{x}(s)に対するオイラー-ラグランジュ方程式)を2n個の1次常微分方程式(p(s)\mathbf{p}(s)x(s)\mathbf{x}(s)に対するハミルトン方程式)に表すことができることを示している。式が多くても、2次微分方程式より1次微分方程式を解くほうがずっと簡単なのは言うまでもない。

定理

関数x()\mathbf{x}(\cdot)p()\mathbf{p}(\cdot)ハミルトン方程式を満たす。

{x˙(s)=DpH(p(s),x(s))p˙(s)=DxH(p(s),x(s))(0st) \begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(s)=D_{p}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ \dot{\mathbf{p}}(s) = -D_{x}H \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \end{cases} \quad (0 \le s \le t)

さらに、写像sH(p(s),x(s))s \mapsto H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s)\big)は定数関数である。

証明

  • Part 1.

    vv(eq1)\eqref{eq1}を満たす解と仮定すると、以下が成立する。

    x˙(s)=v(p(s),x(s)) \begin{equation} \dot{\mathbf{x}}(s)=\mathbf{v}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \label{eq2} \end{equation}

    そしてv()=(v1(),,vn())\mathbf{v}(\cdot)=\big( v^1(\cdot), \cdots, v^n(\cdot) \big)とする。各i=1,,ni=1, \dots, nに対して、HxiH_{x_{i}}は連鎖律により以下のようになる。

    Hxi(p,x)=Hxi=xi(pv(p,x)L(v(p,x),x))=k=1npkvxik(p,x)k=1Lvk(v(p,x),x)vxik(p,x)Lxi(v(p,x),x) \begin{align*} H_{x_{i}}(p,x) &= \dfrac{\partial H}{\partial x_{i}} \\ &= \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \left( p \cdot \mathbf{v}(p,x) - L(\mathbf{v}(p,x), x) \right) \\ &= \sum_{k=1}^{n}p_{k}v^{k}_{x_{i}}(p,x) - \sum_{k=1}^{}L_{v_{k}}\big( \mathbf{v}(p,x), x\big)v^{k}_{x_{i}}(p,x) - L_{x_{i}}\big( \mathbf{v}(p,x), x\big) \end{align*}

    しかし、仮定によりp=DvL(v,x)p=D_{v}L(v,x)なので、pk=Lvk(v(p,x),x)p_{k}=L_{v_{k}}(\mathbf{v}(p,x), x)である。したがって、上の式の第1項と第2項が相殺され、以下を得る。

    Hxi(p,x)=Lxi(v(p,x),x) H_{x_{i}}(p,x)= - L_{x_{i}}\big( \mathbf{v}(p,x), x\big)

    また、HpiH_{p_{i}}を求めると以下のようになる。

    Hpi(p,x)=Hpi=pi(pv(p,x)L(v(p,x),x))=vi(p,x)+k=1npkvpik(p,x)k=1nLvk(v(p,x),x)vpik(p,x)=vi(p,x)+k=1npkvpik(p,x)k=1npkvpik(p,x)=vi(p,x) \begin{align*} H_{p_{i}}(p,x) &= \dfrac{\partial H}{\partial p_{i}} \\ &= \dfrac{\partial }{\partial p_{i}} \left( p \cdot \mathbf{v}(p,x) - L(\mathbf{v}(p,x), x) \right) \\ &= v^{i} (p,x) + \sum_{k=1}^{n} p_{k}v^k_{p_{i}}(p,x) -\sum_{k=1}^{n} L_{v_{k}}(\mathbf{v}(p,x), x)v^{k}_{p_{i}}(p,x) \\ &= v^{i} (p,x) + \sum_{k=1}^{n} p_{k}v^k_{p_{i}}(p,x) -\sum_{k=1}^{n} p_{k} v^{k}_{p_{i}}(p,x) \\ &= v^{i} (p,x) \end{align*}

    今、Hxi(p(s),x(s))H_{x_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)を求めると以下のようになる。

    Hxi(p(s),x(s))=Lxi(v(p(s),x(s)),x(s))=Lxi(x˙(s),x(s))=ddsLvi(x˙(s),x(s))=p˙i(s) \begin{align*} H_{x_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) &= -L_{x_{i}}\big( \mathbf{v}(\mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) ), \mathbf{x}(s) \big) \\ &= -L_{x_{i}} \big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ &= -\dfrac{d}{ds}L_{v_{i}}\big( \dot {\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ &= -\dot{p}^i(s) \end{align*}

    2つ目の等号は、(eq2)\eqref{eq2}により、3つ目の等号は、オイラー-ラグランジュ方程式により、最後の等号は(eq1)\eqref{eq1}によって成立する。したがって、以下を得る。

    DxH(p(s),x(s))=p˙(s)(0st) \begin{equation} -D_{x}H \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s)\big)=-\dot{\mathbf{p}}(s) \quad (0 \le s \le t) \label{eq3} \end{equation}

    さらに、Hpi(p(s),x(s))H_{p_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)を求めると以下のようになる。

    Hpi(p(s),x(s))=vi(p(s),x(s))=x˙i(s) \begin{align*} H_{p_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) &= v^i\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ &= \dot{x}^i(s) \end{align*}

    したがって、以下を得る。

    DpH(p(s),x(s))=x˙(s)(0st) \begin{equation} D_{p}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)=\dot{\mathbf{x}}(s) \quad (0 \le s \le t) \label{eq4} \end{equation}

    それゆえ、(eq3),(eq4)\eqref{eq3}, \eqref{eq4}を整理すると以下を得る。

    {x˙(s)=DpH(p(s),x(s))p˙(s)=DxH(p(s),x(s))(0st) \begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(s)=D_{p}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ \dot{\mathbf{p}}(s) = -D_{x}H \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \end{cases} \quad (0 \le s \le t)

  • Part 2. HHssに関して無関係である

    ddsH(p(s),x(s))=i=1nHpi(p(s),x(s))p˙i(s)+i=1nHxi(p(s),x(s))x˙i(s))=i=1nx˙i(s)p˙i(s)i=1np˙i(s)x˙i(s)=0 \begin{align*} \dfrac{d}{ds}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) &= \sum_{i=1}^n H_{p_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)\dot{p}^i(s) + \sum_{i=1}^n H_{x_{i}} \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \dot {x}^i(s)) \\ &= \sum_{i=1}^n\dot{x}^i(s) \dot{p}^i(s) - \sum_{i=1}^n\dot{p}^i(s)\dot{x}^i(s) \\ &= 0 \end{align*}

    2つ目の等号は(eq3),(eq4)\eqref{eq3}, \eqref{eq4}によって成立する。


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p118-119 ↩︎