📂偏微分方程式

変分法およびオイラー-ラグランジュ方程式から導出されるハミルトン方程式

• xやpに関して、偏微分方程式の変数として強調する場合は、普通の文字体で$x,p \in \mathbb{R}^{n}$と表記し、$s$の関数として強調する場合は、太字で$\mathbf{x}, \mathbf{p} \in \mathbb{R}^{n}$と表記する。同じように、vも変数として強調する場合は普通の文字体で$v \in \mathbb{R}^{n}$と表記し、関数として強調する場合は太字で$\mathbf{v} \in \mathbb{R}^{n}$で表示する。

ハミルトン方程式を導く方法には2つある。 1つはハミルトン-ヤコビ方程式の特性方程式を求める方法で、もう1つはこの記事で紹介するオイラー-ラグランジュ方程式から得られる方法だ。

定義¹

$\mathbf{x}(\cdot)\in \mathcal{A}$を作用$I$の極点とする。それならば、極点の定義により$\mathbf{x}(\cdot)$は以下のオイラー-ラグランジュ方程式を満たす。

$$ -\dfrac{d}{ds}D_{v} L\big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s)\big)+D_{x}L\big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s)\big)=0 \quad (0\le s \le t) $$

$\mathbf{p}$を以下のように定義する。

$$ \begin{equation} \mathbf{p}(s) := D_{v}L\big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s)\big) \quad (0 \le s \le t) \label{eq1} \end{equation} $$

$\mathbf{p}$は位置$\mathbf{x}(s)$と速度$\dot{\mathbf{x}}(s)$に対する一般化運動量^{generalized momentum}と呼ばれる。

そして、すべての$p, x \in \mathbb{R}^n$に対して$p=D_{v}L(v,x)$を満たす唯一の$v=\mathbf{v}(p,x) \in \mathbb{R}^n$が存在し、$v\in C^\infty$とする。そうするとラグランジアン$L$に関連するハミルトニアン^Hamiltonian$H$を以下のように定義する。

$$ H(p,x):=p \cdot \mathbf{v}(p,x) - L(\mathbf{v}(p,x), x) \quad (p,x\in \mathbb{R}^n) $$

説明

古典力学では、ラグランジアンは運動エネルギーからポテンシャルエネルギーを引いたものと定義される。

$$ L = T - V = \dfrac{1}{2}mv^{2} + V(x) $$

$\mathbf{p}$の計算を行うと、以下のようになるため、$\mathbf{p}$を一般化運動量と呼ぶのが自然であることがわかる。

$$ \mathbf{p} = D_{v}L = \dfrac{d}{dv} \left( \dfrac{1}{2}mv^{2} + V(x) \right) = mv = p $$

物理学では、ハミルトニアンは具体的には運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和、すなわち全エネルギー^{total energy}を意味する。したがって、下で紹介する定理の結果である「写像$s \mapsto H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s)\big)$は定数」ということは、時間によって全エネルギーが変わらない、つまり全エネルギーが保存されるということと同じである。

また、下の定理は、n個の2次常微分方程式($\mathbf{x}(s)$に対するオイラー-ラグランジュ方程式)を2n個の1次常微分方程式($\mathbf{p}(s)$と$\mathbf{x}(s)$に対するハミルトン方程式)に表すことができることを示している。式が多くても、2次微分方程式より1次微分方程式を解くほうがずっと簡単なのは言うまでもない。

定理

関数$\mathbf{x}(\cdot)$と$\mathbf{p}(\cdot)$はハミルトン方程式を満たす。

$$ \begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(s)=D_{p}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ \dot{\mathbf{p}}(s) = -D_{x}H \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \end{cases} \quad (0 \le s \le t) $$

さらに、写像$s \mapsto H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s)\big)$は定数関数である。

証明

• Part 1.

  $v$を$\eqref{eq1}$を満たす解と仮定すると、以下が成立する。

  $$ \begin{equation} \dot{\mathbf{x}}(s)=\mathbf{v}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \label{eq2} \end{equation} $$

  そして$\mathbf{v}(\cdot)=\big( v^1(\cdot), \cdots, v^n(\cdot) \big)$とする。各$i=1, \dots, n$に対して、$H_{x_{i}}$は連鎖律により以下のようになる。

  $$ \begin{align*} H_{x_{i}}(p,x) &= \dfrac{\partial H}{\partial x_{i}} \\ &= \dfrac{\partial }{\partial x_{i}} \left( p \cdot \mathbf{v}(p,x) - L(\mathbf{v}(p,x), x) \right) \\ &= \sum_{k=1}^{n}p_{k}v^{k}_{x_{i}}(p,x) - \sum_{k=1}^{}L_{v_{k}}\big( \mathbf{v}(p,x), x\big)v^{k}_{x_{i}}(p,x) - L_{x_{i}}\big( \mathbf{v}(p,x), x\big) \end{align*} $$

  しかし、仮定により$p=D_{v}L(v,x)$なので、$p_{k}=L_{v_{k}}(\mathbf{v}(p,x), x)$である。したがって、上の式の第1項と第2項が相殺され、以下を得る。

  $$ H_{x_{i}}(p,x)= - L_{x_{i}}\big( \mathbf{v}(p,x), x\big) $$

  また、$H_{p_{i}}$を求めると以下のようになる。

  $$ \begin{align*} H_{p_{i}}(p,x) &= \dfrac{\partial H}{\partial p_{i}} \\ &= \dfrac{\partial }{\partial p_{i}} \left( p \cdot \mathbf{v}(p,x) - L(\mathbf{v}(p,x), x) \right) \\ &= v^{i} (p,x) + \sum_{k=1}^{n} p_{k}v^k_{p_{i}}(p,x) -\sum_{k=1}^{n} L_{v_{k}}(\mathbf{v}(p,x), x)v^{k}_{p_{i}}(p,x) \\ &= v^{i} (p,x) + \sum_{k=1}^{n} p_{k}v^k_{p_{i}}(p,x) -\sum_{k=1}^{n} p_{k} v^{k}_{p_{i}}(p,x) \\ &= v^{i} (p,x) \end{align*} $$

  今、$H_{x_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)$を求めると以下のようになる。

  $$ \begin{align*} H_{x_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) &= -L_{x_{i}}\big( \mathbf{v}(\mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) ), \mathbf{x}(s) \big) \\ &= -L_{x_{i}} \big( \dot{\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ &= -\dfrac{d}{ds}L_{v_{i}}\big( \dot {\mathbf{x}}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ &= -\dot{p}^i(s) \end{align*} $$

  2つ目の等号は、$\eqref{eq2}$により、3つ目の等号は、オイラー-ラグランジュ方程式により、最後の等号は$\eqref{eq1}$によって成立する。したがって、以下を得る。

  $$ \begin{equation} -D_{x}H \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s)\big)=-\dot{\mathbf{p}}(s) \quad (0 \le s \le t) \label{eq3} \end{equation} $$

  さらに、$H_{p_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)$を求めると以下のようになる。

  $$ \begin{align*} H_{p_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) &= v^i\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ &= \dot{x}^i(s) \end{align*} $$

  したがって、以下を得る。

  $$ \begin{equation} D_{p}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)=\dot{\mathbf{x}}(s) \quad (0 \le s \le t) \label{eq4} \end{equation} $$

  それゆえ、$\eqref{eq3}, \eqref{eq4}$を整理すると以下を得る。

  $$ \begin{cases} \dot{\mathbf{x}}(s)=D_{p}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \\ \dot{\mathbf{p}}(s) = -D_{x}H \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \end{cases} \quad (0 \le s \le t) $$

• Part 2. $H$は$s$に関して無関係である

  $$ \begin{align*} \dfrac{d}{ds}H\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) &= \sum_{i=1}^n H_{p_{i}}\big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big)\dot{p}^i(s) + \sum_{i=1}^n H_{x_{i}} \big( \mathbf{p}(s), \mathbf{x}(s) \big) \dot {x}^i(s)) \\ &= \sum_{i=1}^n\dot{x}^i(s) \dot{p}^i(s) - \sum_{i=1}^n\dot{p}^i(s)\dot{x}^i(s) \\ &= 0 \end{align*} $$

  ２つ目の等号は$\eqref{eq3}, \eqref{eq4}$によって成立する。

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