Part 1.
vを(eq1)を満たす解と仮定すると、以下が成立する。
x˙(s)=v(p(s),x(s))
そしてv(⋅)=(v1(⋅),⋯,vn(⋅))とする。各i=1,…,nに対して、Hxiは連鎖律により以下のようになる。
Hxi(p,x)=∂xi∂H=∂xi∂(p⋅v(p,x)−L(v(p,x),x))=k=1∑npkvxik(p,x)−k=1∑Lvk(v(p,x),x)vxik(p,x)−Lxi(v(p,x),x)
しかし、仮定によりp=DvL(v,x)なので、pk=Lvk(v(p,x),x)である。したがって、上の式の第1項と第2項が相殺され、以下を得る。
Hxi(p,x)=−Lxi(v(p,x),x)
また、Hpiを求めると以下のようになる。
Hpi(p,x)=∂pi∂H=∂pi∂(p⋅v(p,x)−L(v(p,x),x))=vi(p,x)+k=1∑npkvpik(p,x)−k=1∑nLvk(v(p,x),x)vpik(p,x)=vi(p,x)+k=1∑npkvpik(p,x)−k=1∑npkvpik(p,x)=vi(p,x)
今、Hxi(p(s),x(s))を求めると以下のようになる。
Hxi(p(s),x(s))=−Lxi(v(p(s),x(s)),x(s))=−Lxi(x˙(s),x(s))=−dsdLvi(x˙(s),x(s))=−p˙i(s)
2つ目の等号は、(eq2)により、3つ目の等号は、オイラー-ラグランジュ方程式により、最後の等号は(eq1)によって成立する。したがって、以下を得る。
−DxH(p(s),x(s))=−p˙(s)(0≤s≤t)
さらに、Hpi(p(s),x(s))を求めると以下のようになる。
Hpi(p(s),x(s))=vi(p(s),x(s))=x˙i(s)
したがって、以下を得る。
DpH(p(s),x(s))=x˙(s)(0≤s≤t)
それゆえ、(eq3),(eq4)を整理すると以下を得る。
{x˙(s)=DpH(p(s),x(s))p˙(s)=−DxH(p(s),x(s))(0≤s≤t)