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ラドン逆変換：フィルタリングバックプロジェクション（FBP）

定理

$f : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$について、次の式が成り立つ。

説明

フィルタードバックプロジェクション公式とも言う。

$f$のラドン変換$\mathcal{R}f$が与えられた時、フーリエ変換とバックプロジェクションを使って$f$を得られるということだ。つまり、ラドン変換にフーリエ変換を適用し、$|S|$を乗じた後、再びフーリエ逆変換を適用し、バックプロジェクションを行うことがラドン逆変換ということ。

証明

フーリエ逆変換の定理により、次が成り立つ。

• $$f(x,y)={\mathcal{F}_2}^{-1}\mathcal{F}_2 f(x,y)$$

ここで、$\mathcal{F}_2$は2次元フーリエ変換だ。フーリエ逆変換の定義により、上記の式の右辺は次のようになる。

• $$\dfrac{1}{4\pi^2} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}_2f(X,Y)e^{i(xX+yY)}dXdY$$

直交座標$(X,Y)$を極座標$(S,\theta)$で表す。すると、$X=S\cos\theta$、$Y=S\sin\theta$になる。そして、次が成り立つ。

• $$\begin{vmatrix} \frac{\partial X}{\partial S} & \frac{\partial X}{\partial \theta} \\ \frac{\partial Y}{\partial S} & \frac{\partial Y}{\partial \theta} \end{vmatrix} =|S|$$

従って、$dXdY=|S|dSd\theta$であり、上記の積分を極座標で表すと次のようになる。

• $$\dfrac{1}{4\pi^2} \int_{0}^{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}_2f(S\cos\theta,S\sin\theta)e^{iS(x\cos\theta+y\sin\theta)}|S|dSd\theta$$

フーリエスライス定理

$$\mathcal{F}_2 f(S \cos\theta,\ S \sin\theta)=\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S ,\ \theta)$$

それにより、フーリエスライス定理により、上記の式は次のようになる。

• $$\dfrac{1}{2\pi}{\color{blue}\dfrac{1}{2\pi}} \int_{0}^{\pi} {\color{blue}\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S, \ \theta)e^{iS(x\cos\theta+y\sin\theta)}|S|dS}d\theta$$

青く塗られた部分は、フーリエ逆変換の定義により、次のようになる。

• $$\dfrac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi} {\color{blue} \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S| \mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \Big] (x\cos\theta+y\sin\theta,\ \theta) } d\theta$$

バックプロジェクション

$$\mathcal{B}f(x,y) := \int_{0}^\pi f(x\cos\theta+y\sin\theta,\ \theta) d\theta$$

そして、上記の式は、バックプロジェクションの定義により、次のようになる。

• $$\dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S|\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \Big]\right\} (x,y)$$

従って、次を得る。

• $$f(x,y)= \dfrac{1}{2} \mathcal{B} \left\{ \mathcal{F}^{-1} \Big[ |S|\mathcal{F}(\mathcal{R}f)(S,\ \theta) \Big]\right\} (x,y)$$

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