📂数値解析

台形則

定義

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$が$[a,b]$で積分可能であり、$[a,b]$を$\displaystyle h:= {{b-a} \over {n}}$の間隔で$a = x_{0} < \cdots < x_{n} = b$のようなノードポイントに分割したとする。次のように定義される数値積分オペレーター$I_{n}^{1}$を台形則と呼ぶ。 $$ I_{n}^{1} (f) := \displaystyle \sum_{k=1}^{n} {{h} \over {2}} \left( f(x_{k-1}) + f(x_{k} ) \right) $$

定理

$f \in C^2 [a,b]$とする。台形則のエラー$E_{1}^{1}$とアシンプトティックエラー$\tilde{E}_{n}^{1}$は以下の通りである。

• [1]: $$E_{1}^{1} (f) = - {{1} \over {12}} h^{3} f '' ( \xi )$$
• [2]: $$\tilde{E}_{n}^{1} (f) = - {{ h^2 } \over {12}} [ f '(b) - f '(a) ]$$

説明

$I_{n}^{1} (f)$を解いてみると次のようになる。 $$ I_{n}^{1} (f) = h \left[ {{1} \over {2}} f(x_{0}) + f ( x_{1} ) + \cdots + f ( x_{n-1} ) + {{1} \over {2}} f(x_{n} ) \right] $$ 台形則は、定積分$\displaystyle I (f) = \int_{a}^{b} f(x) dx$の数値積分を得るための最もシンプルな方法の一つで、区分求積法を知っていればすぐに思い浮かぶ方法でもある。

証明 ¹

[1]

戦略：台形は与えられた関数の線形補間であるため、多項式補間の性質を利用することができる。

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$$ I_{1}^{1} (f) := \left( {{ b - a } \over { 2 }} \right) [ f(a) + f(b) ] $$ これは、区間$[a,b]$で$f$を線形補間して、その関数の積分値を$I(f)$に近似したものと見なせる。それならば、実際の$I(f)$と$I_{1}^{1} (f)$の誤差$E_{n}^{1} (f)$は、ある$\xi \in [a,b]$に対して次のように計算される。

多項式補間:

• [4] 実際の関数との誤差: $(n+1)$回微分可能な$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$とある$\xi \in \mathscr{H} \left\{ x_{0} , \cdots , x_{n} \right\}$に対して、$f$の多項式補間$p_{n}$はある$t \in \mathbb{R}$に対して次を満たす。 $$ f(t) - p_{n} (t) = {{ (t - x_{0}) \cdots (t - x_{n}) } \over { (n+1)! }} f^{(n+1)} ( \xi ) $$

$$ \begin{align*} E_{1}^{1} (f) :=& I(f) - I_{1}^{1} (f) \\ =& \int_{a}^{b} \left[ f(x) - {{ f(b) ( x - a ) - f(a) (x - b) } \over { b - a }} \right] dx \\ =& \int_{a}^{b} \left[ f(x) - p_{1} (x) \right] dx \\ =& {{1} \over {2}} f '' ( \xi ) \int_{a}^{b} (x-a) (x-b) dx \\ =& \left[ {{1} \over {2}} f '' ( \xi ) \right] \left[ - {{1} \over {6}} (b-a)^{3} \right] \\ =& - {{1} \over {12}} (b-a)^{3} f '' ( \xi ) \\ =& - {{1} \over {12}} h^{3} f '' ( \xi ) \end{align*} $$

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[2]

戦略：リーマン和を導出すれば、その次は微積分学の基本定理によって自然に演繹される。

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定理[1]により、実際の$I(f)$と$I_{n}^{1} (f)$の誤差は、ある$\xi_{k} \in [x_{k-1}, x_{k} ]$に対して次のように計算される。 $$ \begin{align*} \displaystyle E_{n}^{1} (f) =& I (f) - I_{n}^{1} (f) \\ =& \sum_{k=1}^{n} \left( - {{ h^3 } \over { 12 }} f '' ( \xi_{k} ) \right) \end{align*} $$ これに対して $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} {{ E_{n}^{1} (f) } \over { h^2 }} =& \lim_{n \to \infty} {{1} \over {h^2}} \sum_{k=1}^{n} \left( - {{ h^3 } \over { 12 }} f '' ( \xi_{k} ) \right) \\ =& - {{ 1 } \over { 12 }} \lim_{ n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} h f '' ( \xi_{k} ) \\ =& - {{ 1 } \over { 12 }} \int_{a}^{b} f ''(x) dx \\ =& - {{ 1 } \over { 12 }} [ f '(b) - f '(a) ] \end{align*} $$ したがって $$ \lim_{n \to \infty} {{\tilde{E}_{n} (f) } \over { E_{n} (f) }} = 1 $$

$$ E_{n}^{1} (f) \approx \tilde{E}_{n}^{1} (f) = - {{ h^2 } \over { 12 }} [ f '(b) - f '(a) ] $$

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