📂解析学

連続関数空間の代数

定義¹

1. 以下の3つの条件を満たす集合$A$を$C(X)$の代数^algebraという。
   • (i): $\emptyset \ne A \subset C(X)$
   • (ii): $f,g \in A \implies (f+g) , fg \in A$
   • (iii): $f \in A , c \in \mathbb{R} \implies cf \in A$
2. 距離空間$X$について$A \subset C(X)$とする。$A$のすべての数列$\left\{ f_{n} \in A : n \in \mathbb{N} \right\}$がある$f \in A$に対して$n \to \infty$を満たすとき、$A$を一様閉^{uniformly Closed}という。

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• $C \left( X \right)$は、定義域が$X$で値域が$\mathbb{R}$の連続関数のクラスである。

定理

もし$X$がコンパクト距離空間で、$A$が定数関数を含み$C(X)$の一様閉代数である場合、以下が成立する。 $$ f,g \in A \implies (f \land g), ( f \lor g ) \in A $$

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• $\land$と$\lor$は、$f,g \in C(X)$と$x \in X$に対して以下を意味する。 $$ \begin{align*} (f \land g) (x) :=& \min \left\{ f(x) , g(x) \right\} \\ (f \lor g) (x) :=& \max \left\{ f(x) , g(x) \right\} \end{align*} $$

証明

戦略：上の補助定理は簡単な事実のように見えるが、証明は決して簡単ではない。$(f \land g)$と$(f \lor g)$は、より簡単な関数の組み合わせで表現できる。その簡単な関数の中に$|f|$があり、それが$f \in A \implies |f| \in A$であることを示すのが困難である。二項級数のトリックを通じて$|f|$に収束する数列$\left\{ M g_{n} (x) \right\}_{n \in \mathbb{N}}$を直接作成する。すると、一様閉であるという条件により、証明が完了する。この補助定理はストーン・ワイアストラスの定理を証明するのに有効に使える。

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• Part 1. 代数

  $A$は代数なので、 $$ \begin{align*} g \in A, 0 \in \mathbb{R} \implies & 0 \in A \\ g \in A, (-1) \in \mathbb{R} \implies & (-g) \in A \\ f , (-g) \in A \implies & (f - g ) \in A \end{align*} $$ である。$(f \land g) (x)$と$(f \lor g) (x)$はそれぞれ $$ \begin{align*} (f \land g) (x) = \min \left\{ f(x) , g(x) \right\} =& {{1} \over {2}} \left[ (f+g) (x) - \left| (f - g)(x) \right| \right] \\ (f \lor g) (x) = \max \left\{ f(x) , g(x) \right\} =& {{1} \over {2}} \left[ (f+g) (x) + \left| (f - g)(x) \right| \right] \end{align*} $$ のように$(f + g)$と$| f - g |$の組み合わせで表せる。再び、$A$は代数なので、$(f + g ) \in A$そして$( f - g ) \in A$なので、$f \in A \implies | f | \in A$を示せば十分である。$| f | = 0$の場合は明らかに$| f | = 0 \in A$なので$M := | f | > 0$の場合だけを考える。

• Part 2. $\forall \epsilon> 0 , \exists N \in \mathbb{N} : n \ge N \implies \left| P_{n} (t) - |t| \right| < \varepsilon$

  二項級数 : $|x| < 1$のとき$\alpha \in \mathbb{C}$に対して、 $$ (1 + x )^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k} $$

  $$ \begin{align*} \displaystyle | t | =& \left( 1 - \left( 1- t^2 \right) \right)^{1/2} \\ =& 1 - {{1} \over {2}} \left( 1- t^2 \right) - {{1} \over {2 \cdot 4}} \left( 1- t^2 \right)^2 - \sum_{k=3}^{\infty} {{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3 ) } \over { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k) }} \left( 1- t^2 \right)^{k} \end{align*} $$

  は$( -\sqrt{2} , \sqrt{2} )$上で一様収束するので、$[-1,1]$上でも一様収束する。$n \in \mathbb{N}$に従った合併の$P_{n}$を以下のように定義しよう。

  $$ P_{n} (t) := 1 - {{1} \over {2}} \left( 1- t^2 \right) - {{1} \over {2 \cdot 4}} \left( 1- t^2 \right)^2 - \sum_{k=3}^{n} {{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3 ) } \over { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k) }} \left( 1- t^2 \right)^{k} $$

  すると、任意の$\varepsilon > 0$と$t \in [-1 , 1 ]$に対して$n \ge N \implies \left| P_{n} (t) - |t| \right| < \varepsilon$を満たす$N \in \mathbb{N}$が存在する。

• Part 3. $f \in A \implies | f | \in A$

  $x \in X$に対して$g_{n} (x)$を

  $$ g_{n} (x ) : = P_{n} \left( {{ f(x) } \over {M}} \right) $$

  のように定義しよう。$A$は代数で定数関数を含んでいるので、すべての$c \in \mathbb{R}$に対して対応する定数関数$c(x) = c$が存在する。$\displaystyle P_{n} \left( {{ f(x) } \over {M}} \right)$は定数関数と$\displaystyle \left( {{f(x)} \over {M}} \right)^{2k}$たちの線形組み合わせで表されるので$g_{n} \in A$が保証される。Part 1で$M = | f | > 0$と仮定したので、$t$を$\displaystyle t := {{ f(x) } \over { M }}$として$t \in [-1,1]$が得られ、Part 2により

  $$ \left| g_{n} (x) - \left| {{f(x)} \over {M}} \right| \right| = \left| P_{n} \left( {{ f(x) } \over {M}} \right) - \left| {{f(x)} \over {M}} \right|\right| = \left| P_{n} (t) - |t| \right| < \varepsilon $$

  を満たす$N$が存在する。両端に$M$を掛けると、

  $$ \left| M g_{n} (x) - \left| f(x) \right| \right| < M \varepsilon $$

  となり、$x \in X$で$n \to \infty$のとき$| M g_{n} - |f| | \to 0$であり、$A$が一様閉であるので、

  $$ |f| \in A $$

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