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連続関数空間の代数 📂解析学

連続関数空間の代数

定義1

  1. 以下の3つの条件を満たす集合AAC(X)C(X)代数algebraという。
    • (i): AC(X)\emptyset \ne A \subset C(X)
    • (ii): f,gA    (f+g),fgAf,g \in A \implies (f+g) , fg \in A
    • (iii): fA,cR    cfAf \in A , c \in \mathbb{R} \implies cf \in A
  2. 距離空間XXについてAC(X)A \subset C(X)とする。AAのすべての数列{fnA:nN}\left\{ f_{n} \in A : n \in \mathbb{N} \right\}があるfAf \in Aに対してnn \to \inftyを満たすとき、AA一様閉uniformly Closedという。

定理

もしXXコンパクト距離空間で、AAが定数関数を含みC(X)C(X)の一様閉代数である場合、以下が成立する。 f,gA    (fg),(fg)A f,g \in A \implies (f \land g), ( f \lor g ) \in A


  • \land\lorは、f,gC(X)f,g \in C(X)xXx \in Xに対して以下を意味する。 (fg)(x):=min{f(x),g(x)}(fg)(x):=max{f(x),g(x)} \begin{align*} (f \land g) (x) :=& \min \left\{ f(x) , g(x) \right\} \\ (f \lor g) (x) :=& \max \left\{ f(x) , g(x) \right\} \end{align*}

証明

戦略:上の補助定理は簡単な事実のように見えるが、証明は決して簡単ではない。(fg)(f \land g)(fg)(f \lor g)は、より簡単な関数の組み合わせで表現できる。その簡単な関数の中にf|f|があり、それがfA    fAf \in A \implies |f| \in Aであることを示すのが困難である。二項級数のトリックを通じてf|f|に収束する数列{Mgn(x)}nN\left\{ M g_{n} (x) \right\}_{n \in \mathbb{N}}を直接作成する。すると、一様閉であるという条件により、証明が完了する。この補助定理はストーン・ワイアストラスの定理を証明するのに有効に使える。


  • Part 1. 代数

    AAは代数なので、 gA,0R    0AgA,(1)R    (g)Af,(g)A    (fg)A \begin{align*} g \in A, 0 \in \mathbb{R} \implies & 0 \in A \\ g \in A, (-1) \in \mathbb{R} \implies & (-g) \in A \\ f , (-g) \in A \implies & (f - g ) \in A \end{align*} である。(fg)(x)(f \land g) (x)(fg)(x)(f \lor g) (x)はそれぞれ (fg)(x)=min{f(x),g(x)}=12[(f+g)(x)(fg)(x)](fg)(x)=max{f(x),g(x)}=12[(f+g)(x)+(fg)(x)] \begin{align*} (f \land g) (x) = \min \left\{ f(x) , g(x) \right\} =& {{1} \over {2}} \left[ (f+g) (x) - \left| (f - g)(x) \right| \right] \\ (f \lor g) (x) = \max \left\{ f(x) , g(x) \right\} =& {{1} \over {2}} \left[ (f+g) (x) + \left| (f - g)(x) \right| \right] \end{align*} のように(f+g)(f + g)fg| f - g |の組み合わせで表せる。再び、AAは代数なので、(f+g)A(f + g ) \in Aそして(fg)A( f - g ) \in Aなので、fA    fAf \in A \implies | f | \in Aを示せば十分である。f=0| f | = 0の場合は明らかにf=0A| f | = 0 \in AなのでM:=f>0M := | f | > 0の場合だけを考える。

  • Part 2. ϵ>0,NN:nN    Pn(t)t<ε\forall \epsilon> 0 , \exists N \in \mathbb{N} : n \ge N \implies \left| P_{n} (t) - |t| \right| < \varepsilon

    二項級数 : x<1|x| < 1のときαC\alpha \in \mathbb{C}に対して、 (1+x)α=k=0(αk)xk (1 + x )^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^{k}

    t=(1(1t2))1/2=112(1t2)124(1t2)2k=3135(2k3)246(2k)(1t2)k \begin{align*} \displaystyle | t | =& \left( 1 - \left( 1- t^2 \right) \right)^{1/2} \\ =& 1 - {{1} \over {2}} \left( 1- t^2 \right) - {{1} \over {2 \cdot 4}} \left( 1- t^2 \right)^2 - \sum_{k=3}^{\infty} {{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3 ) } \over { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k) }} \left( 1- t^2 \right)^{k} \end{align*}

    (2,2)( -\sqrt{2} , \sqrt{2} )上で一様収束するので、[1,1][-1,1]上でも一様収束する。nNn \in \mathbb{N}に従った合併のPnP_{n}を以下のように定義しよう。

    Pn(t):=112(1t2)124(1t2)2k=3n135(2k3)246(2k)(1t2)k P_{n} (t) := 1 - {{1} \over {2}} \left( 1- t^2 \right) - {{1} \over {2 \cdot 4}} \left( 1- t^2 \right)^2 - \sum_{k=3}^{n} {{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-3 ) } \over { 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2k) }} \left( 1- t^2 \right)^{k}

    すると、任意のε>0\varepsilon > 0t[1,1]t \in [-1 , 1 ]に対してnN    Pn(t)t<εn \ge N \implies \left| P_{n} (t) - |t| \right| < \varepsilonを満たすNNN \in \mathbb{N}が存在する。

  • Part 3. fA    fAf \in A \implies | f | \in A

    xXx \in Xに対してgn(x)g_{n} (x)

    gn(x):=Pn(f(x)M) g_{n} (x ) : = P_{n} \left( {{ f(x) } \over {M}} \right)

    のように定義しよう。AAは代数で定数関数を含んでいるので、すべてのcRc \in \mathbb{R}に対して対応する定数関数c(x)=cc(x) = cが存在する。Pn(f(x)M)\displaystyle P_{n} \left( {{ f(x) } \over {M}} \right)は定数関数と(f(x)M)2k\displaystyle \left( {{f(x)} \over {M}} \right)^{2k}たちの線形組み合わせで表されるのでgnAg_{n} \in Aが保証される。Part 1でM=f>0M = | f | > 0と仮定したので、ttt:=f(x)M\displaystyle t := {{ f(x) } \over { M }}としてt[1,1]t \in [-1,1]が得られ、Part 2により

    gn(x)f(x)M=Pn(f(x)M)f(x)M=Pn(t)t<ε \left| g_{n} (x) - \left| {{f(x)} \over {M}} \right| \right| = \left| P_{n} \left( {{ f(x) } \over {M}} \right) - \left| {{f(x)} \over {M}} \right|\right| = \left| P_{n} (t) - |t| \right| < \varepsilon

    を満たすNNが存在する。両端にMMを掛けると、

    Mgn(x)f(x)<Mε \left| M g_{n} (x) - \left| f(x) \right| \right| < M \varepsilon

    となり、xXx \in Xnn \to \inftyのときMgnf0| M g_{n} - |f| | \to 0であり、AAが一様閉であるので、

    fA |f| \in A


  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p377-378 ↩︎