連続関数空間の代数
📂解析学連続関数空間の代数
定義
- 以下の3つの条件を満たす集合AをC(X)の代数algebraという。
- (i): ∅=A⊂C(X)
- (ii): f,g∈A⟹(f+g),fg∈A
- (iii): f∈A,c∈R⟹cf∈A
- 距離空間XについてA⊂C(X)とする。Aのすべての数列{fn∈A:n∈N}があるf∈Aに対してn→∞を満たすとき、Aを一様閉uniformly Closedという。
- C(X)は、定義域がXで値域がRの連続関数のクラスである。
定理
もしXがコンパクト距離空間で、Aが定数関数を含みC(X)の一様閉代数である場合、以下が成立する。
f,g∈A⟹(f∧g),(f∨g)∈A
- ∧と∨は、f,g∈C(X)とx∈Xに対して以下を意味する。
(f∧g)(x):=(f∨g)(x):=min{f(x),g(x)}max{f(x),g(x)}
証明
戦略:上の補助定理は簡単な事実のように見えるが、証明は決して簡単ではない。(f∧g)と(f∨g)は、より簡単な関数の組み合わせで表現できる。その簡単な関数の中に∣f∣があり、それがf∈A⟹∣f∣∈Aであることを示すのが困難である。二項級数のトリックを通じて∣f∣に収束する数列{Mgn(x)}n∈Nを直接作成する。すると、一様閉であるという条件により、証明が完了する。この補助定理はストーン・ワイアストラスの定理を証明するのに有効に使える。
Part 1. 代数
Aは代数なので、
g∈A,0∈R⟹g∈A,(−1)∈R⟹f,(−g)∈A⟹0∈A(−g)∈A(f−g)∈A
である。(f∧g)(x)と(f∨g)(x)はそれぞれ
(f∧g)(x)=min{f(x),g(x)}=(f∨g)(x)=max{f(x),g(x)}=21[(f+g)(x)−∣(f−g)(x)∣]21[(f+g)(x)+∣(f−g)(x)∣]
のように(f+g)と∣f−g∣の組み合わせで表せる。再び、Aは代数なので、(f+g)∈Aそして(f−g)∈Aなので、f∈A⟹∣f∣∈Aを示せば十分である。∣f∣=0の場合は明らかに∣f∣=0∈AなのでM:=∣f∣>0の場合だけを考える。
Part 2. ∀ϵ>0,∃N∈N:n≥N⟹∣Pn(t)−∣t∣∣<ε
二項級数 : ∣x∣<1のときα∈Cに対して、
(1+x)α=k=0∑∞(kα)xk
∣t∣==(1−(1−t2))1/21−21(1−t2)−2⋅41(1−t2)2−k=3∑∞2⋅4⋅6⋯(2k)1⋅3⋅5⋯(2k−3)(1−t2)k
は(−2,2)上で一様収束するので、[−1,1]上でも一様収束する。n∈Nに従った合併のPnを以下のように定義しよう。
Pn(t):=1−21(1−t2)−2⋅41(1−t2)2−k=3∑n2⋅4⋅6⋯(2k)1⋅3⋅5⋯(2k−3)(1−t2)k
すると、任意のε>0とt∈[−1,1]に対してn≥N⟹∣Pn(t)−∣t∣∣<εを満たすN∈Nが存在する。
Part 3. f∈A⟹∣f∣∈A
x∈Xに対してgn(x)を
gn(x):=Pn(Mf(x))
のように定義しよう。Aは代数で定数関数を含んでいるので、すべてのc∈Rに対して対応する定数関数c(x)=cが存在する。Pn(Mf(x))は定数関数と(Mf(x))2kたちの線形組み合わせで表されるのでgn∈Aが保証される。Part 1でM=∣f∣>0と仮定したので、tをt:=Mf(x)としてt∈[−1,1]が得られ、Part 2により
gn(x)−Mf(x)=Pn(Mf(x))−Mf(x)=∣Pn(t)−∣t∣∣<ε
を満たすNが存在する。両端にMを掛けると、
∣Mgn(x)−∣f(x)∣∣<Mε
となり、x∈Xでn→∞のとき∣Mgn−∣f∣∣→0であり、Aが一様閉であるので、
∣f∣∈A
■