📂ルベーグ空間

一般化されたヘルダーの不等式、ヘルダーの不等式の系

説明

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$を開集合と呼ぼう。次の式を満たす二つの定数$1 \lt p \lt \infty, 1 \lt p^{\prime} \lt \infty$が与えられたとしよう。

$$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1 \left(\text{or } p^{\prime} = \frac{p}{p-1} \right)$$

もし$u \in L^p(\Omega)$、$v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$ならば$uv \in L^1(\Omega)$であり、下の不等式が成立する。

$$\| uv \|_{1} = \int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}}$$

上記の定理の不等式は、ヘルダーの不等式と呼ばれる。ヘルダーの不等式から、以下の二つの系が容易に成立することが示される。

定理¹

定理1

三つの定数$p>0, q>0, r>0$が$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{r}$を満たし、$u \in {L}^{p}(\Omega), v \in {L}^{q}(\Omega)$ならば、$uv \in L^{r}(\Omega)$であり、下の不等式が成立するとする。

$$\| uv \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^{r} dx \right)^{1/r} \le \| u \|_{p} \| v \|_{q}$$

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$r=1$の場合は、ヘルダーの不等式と同じである。

証明

仮定により、

$$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=\dfrac{1}{r} \implies \dfrac{1}{p/r}+\dfrac{1}{q/r}=1$$

そして$u \in L^p(\Omega)$と仮定したので、$\left( \int_{\Omega}|u|^p dx \right)^{1/p} < \infty$であり、従って、

$$\left( \int_{\Omega}|u^r|^{\frac{p}{r}} dx \right)^{1/p} < \infty \implies \left( \int_{\Omega}|u^r|^{\frac{p}{r}} dx\right)^{r/p} < \infty$$

従って、$u^r \in {L}^{p/r}(\Omega)$であり$v^r \in{L}^{q/r}(\Omega)$も同じ方法で確認できる。そうすると、ヘルダーの不等式により、

$$\int_{\Omega} |u(x)v(x)|^{r} dx = \int_{\Omega} |u^{r}(x)v^{r}(x) | dx \le \| u^r \|_{p/r} \|v^r\|_{q/r}$$

右側を積分形式で書き直せば、

$$\begin{align*} \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^{r} dx \le& \left(\int_{\Omega} |u(x)^{r}|^{p/r} dx \right)^{q/p} \left(\int_{\Omega} |v(x)^r|^{q/r} dx \right)^{r/q} \\ =&\ \left(\int_{\Omega}|u(x)|^{p} dx \right)^{r/p} \left(\int_{\Omega} |v(x)|^{q} dx \right)^{r/q} \end{align*}$$

両方に$\dfrac{1}{r}$乗を取れば、

$$\left( \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^rdx \right)^{1/r} \le \left(\int_{\Omega}|u(x)|^{p} dx \right)^{1/p} \left(\int_{\Omega} |v(x)|^{q} dx \right)^{1/q}$$

従って、

$$\| uv \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)v(x)|^rdx \right)^{1/r} \le \| u \|_{p} \| v\|_{q}$$

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定理2

$1\le j \le N$に対して、$p_{j}>0$であり、$\sum\limits_{j=1}^N\dfrac{1}{{p}_{j}}=\dfrac{1}{{p}_{1}}+\dfrac{1}{{p}_2}+\cdots+\dfrac{1}{{p}_{N}}=\dfrac{1}{r}$とする。そして、$u=\prod _{j=1}^N u_{j}=u_{1}u_2\dots u_{N}$であり$u_{j}\in L^{{p}_{j}}(\Omega)$と仮定する。すると、$u\in {L}^r (\Omega)$であり、下の不等式が成立する。

$$\| u \|_{r} = \left( \int_{\Omega} |u(x)|^{r} dx \right)^{1/r} \le \prod_{j=1}^{N} \| u_{j} \|_{{p}_{j}} = \| u_{1} \|_{{p}_{1}} \cdots \| u_{N} \|_{p_{N}}$$

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上の定理1は、二つの関数に対するものだけでなく、任意の$N$個の関数に対しても成立することがわかる。

証明

数学的帰納法を使う。まず、$N=2$の時は、定理1によって成立する。それから、$N=k$の時に成立すると仮定した時、$N=k+1$の時にも成立することを示せば、証明が完了する。

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$\sum\limits_{j=1}^k \dfrac{1}{{p}_{j}}=\dfrac{1}{r}$であり、$N=k$の時に成立するとする。すると、次のことが成立する。

$$\left\| \prod_{j=1}^N u_{j} \right\|_{r} \le \| u_{1} \|_{p_{1}} \| u_{2} \|_{p_{2}} \cdots \| u_{k} \|_{p_{k}}$$

今、$\sum_{j=1}^{k+1}\dfrac{1}{{p}_{j}}=\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{{p}_{k+1}}=\dfrac{1}{r^{\prime}}$としよう。すると、

$$\begin{align*} \| u \|_{r^{\prime}} =&\ \left\| \left( \prod_{j=1}^k u_{j} \right) u_{k+1} \right\|_{r^{\prime}} \\ \le& \left\| \prod \limits_{j=1}^{k+1}u_{j} \right\|_{r} \| u_{k+1} \|_{p_{k+1}} \\ \le& \| u_{1} \|_{p_{1}} \| u_{2} \|_{p_{2}} \cdots \| u_{k} \|_{p_{k}} \| u_{k+1} \| _{p_{k+1}} \\ =&\ \prod \limits_{j=1}^{k+1} \| u_{j}\|_{p_{j}} \end{align*}$$

二行目は定理1によって成立する。三行目は仮定によって成立する。従って、$N=k$の時に成立すると仮定すれば、$N=k+1$の時にも成立する。従って、数学的帰納法により証明完了。

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参照

• ユークリッド空間におけるヘルダーの不等式
• ヘルダーの不等式