📂フーリエ解析 定義 関数としてのフーリエ変換 関数 f ∈ f \in f ∈ L 1 L^{1} L 1 フーリエ変換 Fourier transform of f f f を次のように定義する。
f ^ ( ξ ) : = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ξ t d t
\hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \xi t}dt
f ^ ( ξ ) := ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ξ t d t
オペレーターとしてのフーリエ変換 次のように定義される作用素 F : L 1 → \mathcal{F} : L^{1} \to F : L 1 → C 0 C_{0} C 0 フーリエ変換 という。
F [ f ] ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ξ t d t
\mathcal{F}[f] (\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \xi t}dt
F [ f ] ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ξ t d t
説明 定義にあるように、フーリエ変換という言葉はオペレーター F \mathcal{F} F F \mathcal{F} F f ^ = F f = F [ f ] \hat{f} = \mathcal{F}f = \mathcal{F}[f] f ^ = F f = F [ f ] F \mathcal{F} F C 0 C_{0} C 0 リーマン・ルベーグ補題 によって保証される。また、次が成り立つことを簡単に示すことができる。 f ∈ L 1 f \in L^{1} f ∈ L 1
∥ F f ∥ ∞ ≤ ∥ f ∥ 1
\left\| \mathcal{F}f \right\|_{\infty} \le \left\| f \right\|_{1}
∥ F f ∥ ∞ ≤ ∥ f ∥ 1
証明
∥ F f ∥ ∞ = max ξ ∈ R ∣ F f ( ξ ) ∣ = max ξ ∈ R ∣ ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ξ t d t ∣ ≤ max ξ ∈ R ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) e − i ξ t ∣ d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t = ∥ f ∥ 1
\begin{align*}
\left\| \mathcal{F}f \right\|_{\infty} = \max\limits_{\xi \in \mathbb{R}} \left| \mathcal{F}f(\xi) \right|
&= \max\limits_{\xi \in \mathbb{R}} \left| \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \xi t}dt \right| \\
&\le \max\limits_{\xi \in \mathbb{R}} \int_{-\infty}^{\infty} \left| f(t) e^{-i \xi t} \right| dt \\
&= \int_{-\infty}^{\infty} \left| f(t) \right| dt = \left\| f \right\|_{1}
\end{align*}
∥ F f ∥ ∞ = ξ ∈ R max ∣ F f ( ξ ) ∣ = ξ ∈ R max ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ξ t d t ≤ ξ ∈ R max ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ξ t d t = ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ d t = ∥ f ∥ 1
フーリエ変換は積分変換 の一種であり、この逆変換 は次の通りである。
f ( t ) = F − 1 f ^ ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e i t ξ d ξ
f(t) = \mathcal{F}^{-1}\hat{f}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{i t \xi} d \xi
f ( t ) = F − 1 f ^ ( t ) = 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e i t ξ d ξ
最初の定数 1 2 π \dfrac{1}{2\pi} 2 π 1 どこに置いても構わないため 逆変換の前に書くことも、変換の前に書くこともある。あるいは、両方に 1 2 π \frac{1}{\sqrt{2\pi}} 2 π 1 f f f f ∈ L 1 f\in L^{1} f ∈ L 1 f ^ \hat{f} f ^ フーリエ逆変換 もよく定義される。
多変数関数のフーリエ変換 多変数関数のフーリエ変換は次のように定義する。多変数関数 f ∈ L 1 ( R n ) f \in L^{1}(\mathbb{R}^{n}) f ∈ L 1 ( R n )
F f ( ξ ) : = ∫ f ( x ) e − i ξ ⋅ x d x
\mathcal{F}f(\boldsymbol{\xi}):=\int f(x)e^{-i \boldsymbol{\xi} \cdot \mathbf{x} }d\mathbf{x}
F f ( ξ ) := ∫ f ( x ) e − i ξ ⋅ x d x
F f ( ξ 1 , ⋯ , ξ n ) : = ∫ − ∞ ∞ ⋯ ∫ − ∞ ∞ f ( x 1 , ⋯ , x n ) e − i ( ξ 1 x 1 + ⋯ + ξ n x n ) d x 1 ⋯ d x n
\mathcal{F} f(\xi_{1},\ \cdots ,\ \xi_{n}) := \int_{-\infty}^{\infty} \dots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_{1},\ \cdots,\ x_{n})e^{-i(\xi_{1} x_{1}+\cdots+\xi_{n} x_{n})}dx_{1}\cdots dx_{n}
F f ( ξ 1 , ⋯ , ξ n ) := ∫ − ∞ ∞ ⋯ ∫ − ∞ ∞ f ( x 1 , ⋯ , x n ) e − i ( ξ 1 x 1 + ⋯ + ξ n x n ) d x 1 ⋯ d x n
表記法 f f f
F ( f ) , f ^
\mathcal{F}(f),\quad \hat{f}
F ( f ) , f ^
教科書では、著者の好む記号が何かによって異なるが、どちらもよく使われる。右側のハット記号を使う方が便利そうに見えるが、誤解される恐れがあるため、正確に記載すべき場合は左側の表現を使う方が良い。例えばインプット関数自体の記号が長くなる場合、ハット記号を使うと混乱しやすく見栄えもよくない。この場合には F \mathcal{F} F W c f W_{c}f W c f F \mathcal{F} F
F ( W c f ) , W c f ^ , W c f ^
\mathcal{F}(\mathcal{W}_{c}f),\quad \hat{\mathcal{W}_{c}f},\quad \widehat{\mathcal{W}_{c}f}
F ( W c f ) , W c f ^ , W c f
ただし、混乱の恐れがない場合はハット記号が便利だ。このように同じ概念について様々な表記法があるのは微分でも同様である。
f ′ , d f d x
f^{\prime}, \quad \dfrac{df}{dx}
f ′ , d x df
f ^ \hat{f} f ^ F \mathcal{F} F
導出 有限な区間を周期とする（＝有限な区間で定義された）関数はフーリエ級数 を用いて近似することができる。これは有用だが周期関数 に対してのみ使用できるため、非周期関数に対しても同様の役割を果たす道具が必要である。こうしたアイデアから生まれたのがフーリエ変換 Fourier transform である。フーリエ変換を導出する過程では、非周期関数を実数全体の区間を周期とする、周期が数直線全体にわたって1回繰り返される関数とみなすことが核心のアイデアである。
f f f [ − L , L ) [-L,L) [ − L , L ) f f f 複素フーリエ係数 は次のようになる。
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i n π t L
\begin{equation}
f(t)=\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\frac{n\pi t}{L}}
\end{equation}
f ( t ) = n = − ∞ ∑ ∞ c n e i L nπ t
c n = 1 2 L ∫ − L L f ( t ) e − i n π t L d t
c_{n} = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt
c n = 2 L 1 ∫ − L L f ( t ) e − i L nπ t d t
次のような変数変換を行う。
Δ ξ = π L , ξ n = n Δ ξ = n π L
\Delta \xi = \dfrac{\pi}{L},\quad \xi_{n}=n\Delta\xi=\dfrac{n\pi}{L}
Δ ξ = L π , ξ n = n Δ ξ = L nπ
すると( 1 ) (1) ( 1 )
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i ξ n t , c n = 1 2 L ∫ − L L f ( t ) e − i ξ n t d t
f(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\xi_{n} t}, \quad c_{n} = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i \xi_{n} t }dt
f ( t ) = n = − ∞ ∑ ∞ c n e i ξ n t , c n = 2 L 1 ∫ − L L f ( t ) e − i ξ n t d t
f ( t ) f(t) f ( t ) c n c_{n} c n f ^ ( ξ n ) \hat{f}(\xi_{n}) f ^ ( ξ n )
f ( t ) = L π ∑ n = − ∞ ∞ c n e i ξ n t Δ ξ , c n = 1 2 L f ^ ( ξ n )
f(t)=\dfrac{L}{\pi}\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\xi_{n} t}\Delta \xi , \quad c_{n} = \dfrac{1}{2L}\hat{f}(\xi_{n})
f ( t ) = π L n = − ∞ ∑ ∞ c n e i ξ n t Δ ξ , c n = 2 L 1 f ^ ( ξ n )
そしてf ( t ) f(t) f ( t ) t → ± ∞ t \rightarrow \pm \infty t → ± ∞ 0 0 0 c n c_{n} c n [ − L , L ) [-L,L) [ − L , L ) ( − ∞ , ∞ ) (-\infty,\infty) ( − ∞ , ∞ ) c n c_{n} c n
c n ≈ 1 2 L ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ξ n t d t
c_{n} \approx \dfrac{1}{2L} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\xi_{n} t}dt
c n ≈ 2 L 1 ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ξ n t d t
これはξ n \xi_{n} ξ n c n = 1 2 L f ^ ( ξ n ) c_{n} = \frac{1}{2L}\hat{f}(\xi_{n}) c n = 2 L 1 f ^ ( ξ n ) f ( t ) f(t) f ( t )
f ( t ) ≈ 1 2 π ∑ n = − ∞ ∞ f ^ ( ξ n ) e i ξ n t Δ ξ
f(t) \approx \dfrac{1}{2 \pi}\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi_{n}) e^{i\xi_{n} t}\Delta \xi
f ( t ) ≈ 2 π 1 n = − ∞ ∑ ∞ f ^ ( ξ n ) e i ξ n t Δ ξ
これはリーマン和 に非常に似ている。ここでL → ∞ L\rightarrow \infty L → ∞ Δ ξ → 0 \Delta\xi \rightarrow 0 Δ ξ → 0 ≈ \approx ≈
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e i ξ t d ξ and f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ξ t d t
f(t) = \dfrac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{i\xi t} d\xi \quad \text{and} \quad \hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\xi t}dt
f ( t ) = 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ f ^ ( ξ ) e i ξ t d ξ and f ^ ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − i ξ t d t
このときf ^ \hat{f} f ^ f f f フーリエ変換 と呼び、f f f f ^ \hat{f} f ^ フーリエ逆変換 Fourier inverse transform と呼ぶ。
関連項目 