📂フーリエ解析

フーリエ変換

定義

関数としてのフーリエ変換

関数$f \in$$L^{1}$のフーリエ変換^{Fourier transform of $f$}を次のように定義する。

$$ \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \xi t}dt $$

演算子としてのフーリエ変換

以下のように定義される作用素$\mathcal{F} : L^{1} \to$$C_{0}$をフーリエ変換という。

$$ \mathcal{F}[f] (\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \xi t}dt $$

説明

定義から分かるように、フーリエ変換という言葉は、演算子$\mathcal{F}$自体を意味する言葉であり、かつ、$\mathcal{F}$の関数値$\hat{f} = \mathcal{F}f = \mathcal{F}[f]$を意味する言葉でもある。$\mathcal{F}$の値域が$C_{0}$であることは、リーマン・ルベーグ補題により保証される。さらに、以下が成り立つことを簡単に示せる。$f \in L^{1}$に対して、

$$ \left\| \mathcal{F}f \right\|_{\infty} \le \left\| f \right\|_{1} $$

証明

$$ \begin{align*} \left\| \mathcal{F}f \right\|_{\infty} = \max\limits_{\xi \in \mathbb{R}} \left| \mathcal{F}f(\xi) \right| &= \max\limits_{\xi \in \mathbb{R}} \left| \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \xi t}dt \right| \\ &\le \max\limits_{\xi \in \mathbb{R}} \int_{-\infty}^{\infty} \left| f(t) e^{-i \xi t} \right| dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \left| f(t) \right| dt = \left\| f \right\|_{1} \end{align*} $$

フーリエ変換は積分変換の一種であり、その逆変換は以下のようである。

$$ f(t) = \mathcal{F}^{-1}\hat{f}(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{i t \xi} d \xi $$

前の定数$\dfrac{1}{2\pi}$は、逆変換の前にも、変換の前にもつけてもどこにつけても関係ないため、または両方に$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$をつけることもある。これは作者の便宜により異なり、本質的な違いはない。また、定義を見ると、$f$が積分可能で、つまり$f\in L^{1}$の条件を満たさなければならないことから、フーリエ変換がうまく定義されることが分かる。$\hat{f}$も積分可能であれば、フーリエ逆変換もまた、うまく定義される。

多変数関数のフーリエ変換

多変数関数のフーリエ変換は、次のように定義する。多変数関数$f \in L^{1}(\mathbb{R}^{n})$のフーリエ変換は、

$$ \mathcal{F}f(\boldsymbol{\xi}):=\int f(x)e^{-i \boldsymbol{\xi} \cdot \mathbf{x} }d\mathbf{x} $$

$$ \mathcal{F} f(\xi_{1},\ \cdots ,\ \xi_{n}) := \int_{-\infty}^{\infty} \dots \int_{-\infty}^{\infty} f(x_{1},\ \cdots,\ x_{n})e^{-i(\xi_{1} x_{1}+\cdots+\xi_{n} x_{n})}dx_{1}\cdots dx_{n} $$

表記法

$f$のフーリエ変換に一般的に使われる二つの表記法がある。

$$ \mathcal{F}(f),\quad \hat{f} $$

教科書では、著者がどの記号を好むかによって異なるが、どちらもよく使われている。右側のハット記号を使う方が便利に見えるが、混乱の余地があるため、正確さが求められる場合は左側の表現を使う方が良い。例えば、入力関数自体の記号が長くなった場合、ハット記号を使うと混乱したり、見た目が良くない場合がある。このような場合は、$\mathcal{F}$を使うと、式の意味を明確かつきれいに表すことができる。例えば、$W_{c}f$のフーリエ変換は、以下に示すように、$\mathcal{F}$を使って表記する方が良い。

$$ \mathcal{F}(\mathcal{W}_{c}f),\quad \hat{\mathcal{W}_{c}f},\quad \widehat{\mathcal{W}_{c}f} $$

しかし、混乱の余地がない場合は、ハット記号の方が便利である。このように、同じ概念に対していくつかの表記法が存在するのは、微分にも同じことが言える。

$$ f^{\prime}, \quad \dfrac{df}{dx} $$

$\hat{f}$と$\mathcal{F}$の二つの表記法の長所と短所は、微分において左側のニュートン記法が経済性と利便性に優れ、一方で右側のライプニッツ記法が連鎖律などを計算する際に、厳密さと正確さで優れているのと似ている。

導出¹

有限区間で定義された関数は、フーリエ級数を使って近似することができる。これは有用だが、周期関数にしか使えないため、非周期関数に対しても同様の役割を果たすツールが必要である。このアイデアからフーリエ変換^{Fourier transform}が生まれた。フーリエ変換を導出する過程での核心的なアイデアは、非周期関数をまるで実数全体の区間を周期に持ち、周期が数直線全体に1回繰り返される関数として考えることである。

$f$を区間$[-L,L)$で定義された関数とする。すると、$f$のフーリエ級数と複素フーリエ係数は次のようになる。

$$ \begin{equation} f(t)=\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\frac{n\pi t}{L}} \end{equation} $$

$$ c_{n} = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i\frac{n \pi t}{L} }dt $$

以下の変数変換を行う。

$$ \Delta \xi = \dfrac{\pi}{L},\quad \xi_{n}=n\Delta\xi=\dfrac{n\pi}{L} $$

すると、$(1)$は次のようになる。

$$ f(t) = \sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\xi_{n} t}, \quad c_{n} = \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(t)e^{-i \xi_{n} t }dt $$

$f(t)$に適切な定数を掛け、$c_{n}$の積分項を$\hat{f}(\xi_{n})$とする

$$ f(t)=\dfrac{L}{\pi}\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} e^{i\xi_{n} t}\Delta \xi , \quad c_{n} = \dfrac{1}{2L}\hat{f}(\xi_{n}) $$

$f(t)$が$t \rightarrow \pm \infty$の時に速やかに$0$に収束すると仮定する。すると、$c_{n}$に対して積分区間を$[-L,L)$から$(-\infty,\infty)$に拡張しても、元の$c_{n}$と大きく変わらないだろう。

$$ c_{n} \approx \dfrac{1}{2L} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\xi_{n} t}dt $$

これは$\xi_{n}$のみの関数なので、$c_{n} = \frac{1}{2L}\hat{f}(\xi_{n})$としよう。$f(t)$に代入すると

$$ f(t) \approx \dfrac{1}{2 \pi}\sum \limits_{n=-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi_{n}) e^{i\xi_{n} t}\Delta \xi $$

これはリーマン和と非常に似ている。今、$L\rightarrow \infty$の極限を取ると$\Delta\xi \rightarrow 0$になり、上記の式の$\approx$は等式となり、和は積分になる。

$$ f(t) = \dfrac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{i\xi t} d\xi \quad \text{and} \quad \hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\xi t}dt $$

この時点で、$\hat{f}$を$f$のフーリエ変換と呼び、$f$を$\hat{f}$のフーリエ逆変換^{Fourier inverse transform}と呼ぶ。