📂偏微分方程式

非線形一階偏微分方程式の表記法

表記法¹

非線形1次偏微分方程式は次のように表記される。

$$\begin{equation} F(Du, u, x) = F(p, z, x) = 0 \label{eq1} \end{equation}$$

• $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$は開集合
• $x\in \Omega$
• $F : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \times \bar{ \Omega } \to \mathbb{R}$は与えられた関数
• $u : \bar{ \Omega } \to \mathbb{R}$は $F$の変数だ

説明

非線形1次偏微分方程式 $F$を解くとは、与えられた$F$に対して$F=0$を満たす変数$u$を見つけることだ。この時$x$は時間と空間を両方含む変数だとしよう。

$$x=(x_{1}, \dots, x_{n}=t)$$

この関数$F$は次のように表記される。

$$F=F(p, z, x)=F(p_{1}, \dots, p_{n}, z, x_{1}, \cdots, x_{n})$$

• $p=Du(x) \in\mathbb{R}^n$
• $z=u(x)\in \mathbb{R}$
• $x\in \bar{ \Omega }$

そして関数$F$は十分に滑らかであり偏微分可能と仮定する。一般的にそうだから特に強い条件ではない。それで、各変数に対する$F$の勾配は次のようになる。

$$\begin{cases} D_{p} F=(F_{p_{1}},\ \cdots,\ F_{p_{n}}) \\ D_{z}F=Fz \\ D_{x}F=(F_{x_{1}},\ \cdots,\ F_{x_{n}} )\end{cases}$$

クレロの方程式をこの表記法で示すと次のようになる。

$$F(Du,\ u,\ x)=xDu+f(Du)$$

境界値問題

よく微分方程式$\eqref{eq1}$は境界条件と一緒に与えられる。その場合には次のように表記される。

$$\begin{align*} F(Du,\ u,\ x)&=0 && \text{in } \mathbb{\Omega} \\ u&=g && \text{on } \Gamma \end{align*}$$ この時、$\Gamma \subset \partial \Omega, g : \Gamma \to \mathbb{R}$だ。