調和関数のスムージング効果
定理
$$ \begin{align*} u(x) = -\!\!\!\!\!\! \int_{\partial B(x,r)} udS = -\!\!\!\!\!\! \int _{B(x,r)} udy \end{align*} $$
$u \in C(\Omega)$がそれぞれの開いた球 $B(x,r)\subset \Omega$で平均値の性質を満たすとしよう。すると、次が成り立つ。
$$ u \in C^{\infty}(\Omega) $$
説明
ハーモニックであるなら、内部が滑らかだということだ。注意点は、境界 $\partial \Omega$では滑らかさや連続性が保証されないということだ。
証明
$\epsilon>0$が与えられたとしよう。$u$の$\epsilon$-モリフィケーションは次のようになる。
$$ u^\epsilon=\eta_\epsilon *u \in C^\infty(\Omega_{>\epsilon}) $$
この時、$\Omega_{>\epsilon} := \left\{ x \in \Omega : \mathrm{dist}(x, \partial \Omega) > \epsilon \right\}$である。そして、$x \in \Omega_{>\epsilon}$としよう。すると、次が成り立つ。
$$ \begin{align*} u^\epsilon (x) &= \int_\Omega \eta_\epsilon (x-y)u(y)dy \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n}\int_{\Omega} \eta \left( \frac{x-y}{\epsilon} \right) u(y)dy \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n}\int_{B(x,\epsilon)}\eta \left( \frac{|x-y|}{\epsilon} \right) u(y) dy \end{align*} $$ 三つ目の等号は、モリファイア$\eta$の定義により球の外では値が$0$であるため成り立つ。表面積分と半径に関する積分を分けると、次のようになる。
$$ \dfrac{1}{\epsilon^n} \int_{0}^\epsilon \eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) \left( \int _{\partial B(x,r)} udS \right) dr $$
平均値の性質を使うと、次のようになる。
$$ \begin{align*} &\quad \dfrac{1}{\epsilon^n} \int_{0}^\epsilon \eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) \left( \int _{\partial B(x,r)} udS \right) dr \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n} \int_{0}^\epsilon \eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) \left( \dfrac{n\alpha (n)r^{n-1}}{n\alpha (n)r^{n-1}}\int _{\partial B(x,r)}u dS \right) dr \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n} \int_{0}^\epsilon \eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) n\alpha (n)r^{n-1} -\!\!\!\!\!\! \int _{\partial B(x,r)}u(y) dS(y)dr \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n} \int_{0}^\epsilon \eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) n\alpha (n)r^{n-1} u(x) dr \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n}u(x) \int_{0}^\epsilon \eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) n\alpha (n)r^{n-1}dr \end{align*} $$
ここで$n\alpha (n)r^{n-1}$は半径$r$の球の表面積であるから、上の積分は以下のように書き換えることができる。
$$ \dfrac{1}{\epsilon^n}u(x) \int_{B(0,\epsilon)}\eta \left( \frac{r}{\epsilon} \right) dr=u(x) \int_{B(0,\epsilon)} \eta_\epsilon (y)dy=u(x) $$
最後の等号は、$\eta_\epsilon$の定義により、球$B(r,\epsilon)$内の積分が$1$であるため成り立つ。したがって、すべての$\epsilon$に対して$u=u^\epsilon \ \mathrm{in}\ \Omega_{>\epsilon}$であり、$u^\epsilon \in C^\infty(\Omega)$であるから、$u \in C^\infty (\Omega)$
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