📂動力学

多次元非線形マップ

非線形マップの定義

1. マップ $\mathbf{f} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{m}$ が線形でない場合、非線形と言われる。

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あるマップが線形であることを示すのは難しいが、非線形であることを示すのは簡単だし、線形問題は簡単だが、非線形問題は難しい。この宇宙のほとんど全てが非線形であり、非線形は難しいからこそ、人間は最初に非線形を線形に変換しようとする。

上の図では、示された曲線は確かに曲がっているが、非常に小さい範囲で見ると、ほぼ直線と同じであることが分かる。少しの誤差を無視すれば、十分に小さい範囲内で非線形はほぼ線形と同じだ。この方法を線形マップに適用すれば、非線形マップも事実上線形マップと見なせるだろう。

テイラー近似によると、$f(x+h) \approx f(x) + h f '(x)$ だが、$x$ の近傍、$B(x; h)$ では、$f(x+h)$ は $h$ に関して一次式で表される。これを多変数関数に拡張するには、ヤコビアンを導入すれば良い。このようなアイデアのために解析学の発展は絶対に必要だったと言える。

$\mathbf{f}$ の固定点 $\mathbf{p}$ の近傍 $B \left( \mathbf{p} ; | \mathbf{h} | \right)$ にて、$\mathbf{f}$ が線形性を持つだけの小さいベクトル $\mathbf{h}$ が与えられていた場合、 $$\mathbf{f} ( \mathbf{p} + \mathbf{h} ) \approx \mathbf{f} ( \mathbf{p} ) + D \mathbf{f} ( \mathbb{ p} ) \cdot \mathbf{h} \\ \implies \mathbf{f} ( \mathbf{p} + \mathbf{h} ) - \mathbf{f} ( \mathbf{p} )\approx D \mathbf{f} ( \mathbb{ p} ) \cdot \mathbf{h}$$ $\mathbf{f}$ が線形性を持つならば、$\displaystyle \mathbf{f} ( \mathbf{p} + \mathbf{h} ) \approx \mathbf{f} ( \mathbf{p} ) + \mathbf{f} ( \mathbf{h} )$ であるから、 $$\mathbf{f} ( \mathbf{h} ) = D \mathbf{f} ( \mathbb{ p} ) \cdot \mathbf{h}$$ つまり、$\mathbf{f}$ は $\mathbf{p}$ の近傍の $\mathbf{h} \in \mathbb{R}^{m}$ を $D \mathbf{f} ( \mathbb{ p} ) \cdot \mathbf{h} \in \mathbb{R}^{m}$ へと送る線形マップ $T_{D \mathbf{f} ( \mathbb{ p} )} : \mathbb{R}^{m} \to \mathbb{R}^{m}$ であることを意味している。

このように、線形マップ $T_{A}$ に対応する行列 $A$ のアイゲンバリューを使って動的システムについて話したように、非線形マップ $\mathbf{f}$ の固定点 $\mathbf{p}$ についても、同じ議論を $$D \mathbf{f} ( \mathbb{ p} ) = \begin{bmatrix} {{\partial f_{1} } \over {\partial x_{1} }} ( \mathbb{ p} ) & \cdots & {{\partial f_{1} } \over {\partial x_{n} }} ( \mathbb{ p} ) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{\partial f_{m} } \over {\partial x_{1} }} ( \mathbb{ p} ) & \cdots & {{\partial f_{m} } \over {\partial x_{n} }} ( \mathbb{ p} ) \end{bmatrix}$$ で続けていけば良い。

非線形マップにおけるハイパーボリックとサドルの定義

$D \mathbf{f} ( \mathbf{p})$ のアイゲンバリューを $\lambda_{1} , \cdots , \lambda_{m}$ としよう。 2. $| \lambda_{1} | \ne 1, \cdots , | \lambda_{m} | \ne 1$ ならば、$\mathbf{p}$ は ハイパーボリック^hyperbolicと言われる。 3. ハイパーボリックの $\mathbf{p}$ に対して、$\begin{cases} | \lambda_{i} | >1 \\ | \lambda_{j} | <1 \end{cases}$ を満たす $i,j$ が少なくとも一つ存在すれば、$\mathbf{p}$ は サドル^saddleと言われる。

サドルでない時の判定法

$\mathbf{p}$ がサドルでない場合、次の定理に従って、シンクまたはソースかを判断できる。

• [1]: $| \lambda_{1} | < 1, \cdots , | \lambda_{m} | < 1$ ならば、$\mathbf{p}$ はシンクである。
• [2]: $| \lambda_{1} | > 1, \cdots , | \lambda_{m} | > 1$ ならば、$\mathbf{p}$ はソースである。