logo

ナチュラル不変測度 📂動力学

ナチュラル不変測度

1

例として、ロジスティックマップ g4(x)=4x(1x)g_{4} (x) = 4 x (1 -x) を考えると、カオティックなシステムであるため、初期値 x0[0,1]x_{0} \in [0,1] だけで、十分に大きな NN に対して xN=g4N(x0)x_{N} = g_{4}^{N} (x_{0}) を全く予測できない。しかし、このようにカオティックなオービットが必ずしも [0,1][0,1] の全ての点で均等な分布を持つという保証はない。

99BA9E425C8F4A0034.png

実際にロジスティックマップで初期値をランダムに与え、10510^5 回目までのステートをヒストグラムで表現すると、上記のような形になる。このような分布をもつ確率密度関数を ρ\rho とした場合、十分に大きな NN に対して p(xN[a,b])=abρ(x)dx p \left( x_{N} \in [a,b] \right) = \int_{a}^{b} \rho (x) dx と表現できる。上の図は、ある xx がシステム内でカオティックな動きを見せることは合っているが、特に 0011 の近くに頻繁に留まることを意味している。「留まる」ということを平均的に表現する発想は誰もが思いつき、同意できるほど自然で、ナチュラルnaturalという表現が自然にふさわしい。また、確率分布で表されるためメジャーmeasureと呼べ、初期値に関係なくシステム自体の性質を表しているため、初期値に対して不変的invariantであるとも言える。

さらに、ナチュラルメジャーの存在は非常に重要な事実を示唆している。世の中の多くの現象がカオティックなシステムで表され、不確実性を含んでいるが、カオスへの理解が深まるにつれて、「平均的」または「定量的」な予測を出すことができるということである。


  1. Yorke. (1996). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems: p264. ↩︎