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幾何学

平面図形

空間図形

一般化

微分幾何学

局所曲線理論

全局曲線理論

局所曲面理論

曲面理論では、単純曲面 x:UR3\mathbf{x} : U \to \R^{3}の定義域であるUUの座標の表記法として(u1,u2)(u_{1}, u_{2})または(u,v)(u,v)を使う。アインシュタインの記法を積極的に使用する場合は(u1,u2)(u_{1}, u_{2})を使用する。そうでなく、不必要な下添え字で表記法が汚れるのを避けたい場合は(u,v)(u, v)を使う。

第一基本形式と第二基本形式

測地線と平行

ヴァインガルテンマップ形状演算子

曲率

曲面の基本定理

定曲率の曲面たち

全局曲面理論

単純曲率

方向性

ガウス-ボネの定理

ヤコビの定理

  • ヤコビ定理

ベクトル場のインデックス

  • ベクトル場の零点とインデックス I(V)=ip(V)I(V) = \sum i_{p}(V)
  • プアンカレ-ブラウアーの定理 I(M)=χ(M)I(M) = \chi(M)

微分形式

微分多様体とリーマン幾何学

ベクトル場

リーマンメトリック、接続

測地線

  • 測地線
  • フロー
  • 均質性
  • 指数写像
  • 微分可能な曲線と最小化
  • パラメータ付けられた曲面
  • ガウス補題
  • 最小化性質を持つ測地線
  • 指数写像とノーマルネイバーフッド
  • プアンカレメトリック

曲率

主要参考文献

  • Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977)
  • Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992)

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