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幾何学

平面図形

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一般化

微分幾何学

局所曲線理論

全局曲線理論

局所曲面理論

曲面理論では、単純曲面 $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$の定義域である$U$の座標の表記法として$(u_{1}, u_{2})$または$(u,v)$を使う。アインシュタインの記法を積極的に使用する場合は$(u_{1}, u_{2})$を使用する。そうでなく、不必要な下添え字で表記法が汚れるのを避けたい場合は$(u, v)$を使う。

第一基本形式と第二基本形式

は内在的である](../../posts/3166)

測地線と平行

ヴァインガルテンマップ形状演算子

曲率

曲面の基本定理

定曲率の曲面たち

全局曲面理論

単純曲率

方向性

ガウス-ボネの定理

  • ガウス-ボネの公式
  • 全局ガウス-ボネの公式
  • オイラー標数 $\chi = V - E + F$
  • 正則領域、単純領域、三角形分割
  • ジーナスの定義とオイラー標数との関係 $\chi = 2(1-g)$

ヤコビの定理

  • ヤコビ定理

ベクトル場のインデックス

  • ベクトル場の零点とインデックス $I(V) = \sum i_{p}(V)$
  • プアンカレ-ブラウアーの定理 $I(M) = \chi(M)$

微分形式

微分多様体とリーマン幾何学

ベクトル場

リーマンメトリック、接続

測地線

  • 測地線
  • フロー
  • 均質性
  • 指数写像
  • 微分可能な曲線と最小化
  • パラメータ付けられた曲面
  • ガウス補題
  • 最小化性質を持つ測地線
  • 指数写像とノーマルネイバーフッド
  • プアンカレメトリック

曲率

主要参考文献

  • Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977)
  • Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992)

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