幾何学
平面図形
空間図形
一般化
微分幾何学
局所曲線理論
全局曲線理論
局所曲面理論
曲面理論では、単純曲面 $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$の定義域である$U$の座標の表記法として$(u_{1}, u_{2})$または$(u,v)$を使う。アインシュタインの記法を積極的に使用する場合は$(u_{1}, u_{2})$を使用する。そうでなく、不必要な下添え字で表記法が汚れるのを避けたい場合は$(u, v)$を使う。
第一基本形式と第二基本形式
- 第一基本形式
- 法曲率と測地曲率 $\kappa_{n}$, $\kappa_{g}$
- 第二基本形式
- クリストッフェル記号 $\Gamma_{ij}^{k}$
- ガウスの公式
- ‘内在的/本質的’の定義
- クリストッフェル記号は内在的である
- [測地曲率
は内在的である](../../posts/3166)
測地線と平行
ヴァインガルテンマップ形状演算子
曲率
- 主曲率 $\kappa_{1}, \kappa_{2}$
- オイラーの定理
- ガウス曲率と平均曲率 $K = \kappa_{1}\kappa_{2}, H = \dfrac{\kappa_{1} + \kappa_{2}}{2}$
- 曲面の面積
- ガウス写像の定義とガウス曲率との関係
- リーマン曲率テンソル $R_{ijk}^{l}$, ガウスの方程式, コダッチ-マイナルディの方程式
- ガウスの偉大な定理
曲面の基本定理
定曲率の曲面たち
全局曲面理論
単純曲率
方向性
ガウス-ボネの定理
- ガウス-ボネの公式
- 全局ガウス-ボネの公式
- オイラー標数 $\chi = V - E + F$
- 正則領域、単純領域、三角形分割
- ジーナスの定義とオイラー標数との関係 $\chi = 2(1-g)$
ヤコビの定理
- ヤコビ定理
ベクトル場のインデックス
- ベクトル場の零点とインデックス $I(V) = \sum i_{p}(V)$
- プアンカレ-ブラウアーの定理 $I(M) = \chi(M)$
微分形式
- 余接空間 $T_{p}^{\ast}M$, $1$次微分形式 $\omega : M \to T_{p}^{\ast}M$
- $2$次微分形式 $\omega : M \to \Lambda^{2} (T_{p}^{\ast}M)$
- $k$次微分形式 $\omega : M \to \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$
- 微分形式の演算: 和とウェッジ積 $\wedge$
- プルバック
- $k$次微分形式の外微分
微分多様体とリーマン幾何学
- 微分可能な多様体 $M$
- 多様体上で微分可能な関数 $f : M_{1} \to M_{2}$
- 微分多様体上で定義される微分可能な関数の集合 $\mathcal{D}(M)$
- 微分多様体上の接ベクトル、接空間 $T_{p}M$
- 微分多様体上で定義された関数の微分 $d \phi_{p}$
- 微分同型写像
- イマージョンとエンベディング
ベクトル場
- 接束 $TM = \bigcup\limits_{p \in M}T_{p}M$
- ベクトル場 $X : M \to TM$
- 微分多様体上の微分可能なベクトル場の集合 $\frak{X}(M)$
- リー括弧 $[X, Y] = XY - YX$
- ローカルフロー
リーマンメトリック、接続
- リーマンメトリックとリーマン多様体 $(M, g)$
- 等距離写像と局所等距離写像
- 曲線に沿うベクトル場
- アフィン接続 $\nabla_{X}Y$
- 共変微分 $\dfrac{d V}{d t}$
- 平行なベクトル場
- 両立可能な接続
- 接続の対称性
- レヴィ-チヴィタ接続
測地線
- 測地線
- フロー
- 均質性
- 指数写像
- 微分可能な曲線と最小化
- パラメータ付けられた曲面
- ガウス補題
- 最小化性質を持つ測地線
- 指数写像とノーマルネイバーフッド
- プアンカレメトリック
曲率
- リーマン曲率テンソル $R$
- 断面曲率 $K(\sigma)$
- リッチ曲率 $\Ric$
- スカラー曲率 $K$
- 共変微分とリーマン曲率の関係
- テンソルとは? $T : \frak{X}(M) \times \cdots \times \frak{X}(M) \to \mathcal{D}(M)$
- テンソルの共変微分 $\nabla T$, 共変微分 $\nabla_{Z}T$
主要参考文献
- Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977)
- Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992)
全體ポスト
- 二本の平行な直線の間の距離を求める公式の導出
- 一直線とx軸y軸に囲まれた三角形の面積
- 放物線の接線の方程式導出
- 垂直な二直線の傾きの積は常に-1であることを証明하시오
- 直線上の内分点と外分点の求め方
- 積分を使用した楕円の面積の計算
- ピタゴラスの定理の証明
- 傾きmの円の接線の方程式
- 円上の一点での接線の方程式を求める
- 放物線の焦点を通る直線が持つ性質
- 中心角が小さい場合、弧の長さと弦の長さが近似的であることを証明する
- 一般的な平行六面体の定義
- 楕円の方程式の導出
- 楕円
- 楕円の周囲
- 微分幾何学における曲面の面積
- ガウス曲率による回転面の分類
- 回転面の性質
- - Japanese: ベクトル場の平行移動
- 球の立体角
- 一般的な角度と垂直の定義
- ベクトル空間で定義される基底の方向
- 一般的な直線、平面、球の定義
- 曲線の定義
- 再パラメータ化
- 接線とタンジェントベクトル場
- 弦の定義
- フレネ-セレの公式: 曲率, 接線, 法線, 従法線, ねじれ
- フレネ・セレの公式
- 3次元ユークリッド空間における曲線が平面内に位置する同値条件
- 一般的な螺旋の定義
- ランチョスの定理の証明
- 接平面と法平面
- 球面上の曲線に関する公式
- 微分可能な多様体
- 再パラメータ化とフレネ-セレの道具
- 曲線の基本定理の証明
- 三次元単位球の座標分割写像
- 平面曲線の接線、法線、および曲率
- 閉曲線の定義
- 単純曲線の定義
- モジュライ空間
- 閉曲線の回転数
- ベクトル空間
- 平面曲線の回転数
- 微分可能多様体から微分可能多様体への微分可能関数
- 回転数定理の証明
- 微分可能多様体上の接線ベクトル
- 平面単純閉曲線に囲まれた領域の面積公式の導出
- 順列不等式の証明
- 微分多様体上で定義された関数の微分
- 単純曲面、座標写像
- 曲面理論における座標変換
- 微分同型写像
- 平面と法線ベクトルの交点
- 単純な曲面上の接ベクトル
- 固有分解
- 微分幾何学における曲面の定義
- 第1 基本形式、リーマン計量
- リーマン計量を用いた計算の具体的な例
- 単純曲面上の媒介変数曲線
- ガウス曲率と測地曲率
- 微分幾何学における第2基本形式
- 微分幾何学におけるクリストッフェル記号
- 微分幾何学におけるガウスの定理
- 拡散幾何学における本質の定義
- クリストッフェル記号は内在的である
- n次元微分可能多様体上の接空間はn次元ベクトル空間である
- 測地曲率は内在的である
- 微分幾何学における直線(測地線)の定義
- 微分幾何学における回転面
- 微分多様体上のイマージョンと埋め込み
- 回転面上の測地線
- 曲面に沿った平行ベクトル場の定義
- 測地線の一意性定理
- 最短距離の曲線であれば、それは測地線である
- 微分幾何学における方向微分
- 測地線座標変換
- 第2正規形の性質
- ノーマルセクションの定義とメネラウスの定理
- バインガルテン・マップ
- ビンガルテン方程式
- 第2標準形式とヴィンガルテンマップの関係
- 基本形式と座標変換の関係
- 主曲線の曲率
- 微分幾何学におけるオイラーの定理
- 曲線に沿った平行なベクトル場の性質
- ガウス曲率と平均曲率
- ガウス写像の定義とガウス曲率との関係
- 曲線に沿って平行であるベクトル場の必要十分条件
- 微分幾何学におけるリーマン曲率テンソル、ガウスの方程式、コダッチ-マイナルディの方程式
- ガウスの偉大な定理
- 二つの曲面の間で微分可能な関数
- 微分幾何学における等距離写像
- 微分幾何学における局所等距離写像
- 曲面の基本定理
- 正のガウス曲率を持つ回転面
- 正の曲率をもつ2つの回転面は局所的に等距離である
- 曲率が0の回転面
- 微分可能多様体のコンパクトな表面
- ガウス曲率
- 微分幾何学における曲面と領域の境界
- 微分幾何学における零ホモトピー
- 単純連結領域
- ガウス・ボーネの定理
- 幾何学におけるオイラー指数
- 余接空間と一階微分形式
- 二階微分形式
- k次の微分形式
- 凸包の定義
- 微分形式の演算:和とウェッジ積
- 微分幾何学におけるプルバック
- k形式の外微分
- エマルションは局所的に埋め込まれます。
- 微分可能多様体上の接空間バンドル
- 微分可能多様体上のベクトル場
- ベクトル場のリー括弧
- リーマン計量とリーマン多様体
- リーマン多様体上の等距離写像と局所等距離写像
- 微分多様体上の曲線に沿うベクトル場
- アフィン接続
- ベクトル場の共変微分
- 微分多様体上の平行なベクトル場
- 共存可能な接続
- 接続の対称性
- レヴィチビタ接続、リーマン接続、接続の係数、クリストッフェル記号
- 微分可能多様体上の測地線
- 測地線流れ
- 測地線の均質性
- 指数写像
- 微分可能な曲線と最小化
- パラメータ化された曲面
- リーマン幾何学におけるガウスの補題
- 最小化する測地線
- 指数写像と正規近傍
- ポアンカレ計量
- 微分多様体の曲率
- 微分多様体の断面曲率
- ビアンキ恒等式
- リーマン曲率テンソルの対称性
- リーマン曲率テンソルの座標系表現
- 断面曲率が同じであれば、リーマン曲率も同じである。
- 微分可能多様体のリッチ曲率
- 微分多様体のスカラー曲率
- 共変微分とリーマン曲率テンソルの関係
- 微分多様体上で定義されるテンソル
- 微分可能多様体上の微分可能なベクトル場の集合
- 微分可能マニホールド上の微分可能な実数値関数の集合
- シンプレックスの定義
- ガウス曲率が負の回転面
- 三次元空間におけるトーラスの座標パッチ写像
- 微分幾何学における全角変動
- 放物線
- 双曲線
- 円の定義
- 二次曲線
- 測地線座標パッチマッピングとクリストッフェル記号
- 測地線座標写像のガウス曲率
- 3次元空間のメビウスの帯の座標写像