📂幾何学

ノーマルセクションの定義とムスニエの定理

定義¹

曲面 $M$上の曲線 $\boldsymbol{\gamma}$が与えられたとしよう。$p \in M$におけるノーマル $\mathbf{n}(p)$と $\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(p) \in T_{p}M$が生成する平面を $\Pi$と表記しよう。$M \cap \Pi$を、$p$において $\boldsymbol{\gamma}^{\prime}$方向への $M$のノーマルセクション^{normal section}という。

定理²

点 $p$における法曲率が $\kappa_{n}$である曲面 $M$上の単位速度曲線を $\boldsymbol{\gamma}(s)$としよう。そして $\tilde{\boldsymbol{\gamma}}$をノーマルセクションとしよう。すると平面曲線 $\tilde{\boldsymbol{\gamma}}$の曲率 $\tilde{\kappa}$は次の式を満たす。

$$ | \kappa_{n} |= \tilde{\kappa} $$

説明

これを Meusnie の定理という。Meusnier はフランス人で、パパゴでは「ムスニエ」、Googleでは「モニエ」程度に発音するようだ。

normal section は法曲面、垂直曲面と訳されることもあるが、実際には曲面上の曲線を表すことになるため、適切な言い換えとは言えない。大韓数学会では垂直切断線という訳も見られるが、単にノーマルセクションと呼ぶのが最も良さそうだ。

ノーマルセクション $\tilde{\boldsymbol{\gamma}}$は $M$上で見れば空間曲線だが、$\Pi$上の平面曲線でもある。

証明

補助定理

$\alpha, \beta$を $\alpha (0) = \beta (0)$が成り立つ正則曲線としよう。もし $\lambda \ne 0$に対して二つの曲線の速度ベクトルが $\alpha^{\prime}(0) = \lambda \beta ^{\prime}(0)$を満たすなら、$t=0$のとき二つの曲線の法曲率 $\kappa_{n}$は等しい。

補助定理により、二つの曲線 $\boldsymbol{\gamma}, \tilde{\boldsymbol{\gamma}}$の法曲率^{normal curvature}は $\kappa_{n}$として互いに等しい。このとき $\tilde{\boldsymbol{\gamma}}$の点 $p$におけるノーマルは $\pm \mathbf{n}$である。

また平面曲率の性質により、$\tilde{\boldsymbol{\gamma}}$の平面曲率 $\tilde{k}$は次のようになる。

$$ | \tilde{k} | = \tilde{\kappa} $$

すると平面曲率と法曲率の定義により、

$$ \tilde{k} =\pm \left\langle \tilde{\boldsymbol{\gamma}}^{\prime \prime}, \mathbf{n} \right\rangle = \pm \kappa_{n} $$

したがって

$$ \left| \kappa_{n} \right| = | \tilde{k} | = \tilde{\kappa} $$

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