楕円

定義

平面上の二点$F$、$F^{\prime}$までの距離の和が一定である点の集合を楕円^ellipseという。

楕円の構成要素は次のとおりである。

$F$、$F^{\prime}$を焦点^focusという。
$a$を長半径^{semimajor axis}、$b$を短半径^{semiminor axis}という。$b=\sqrt{1-\epsilon^{2}}a$が成り立つ。
$\epsilon$を離心率^eccentricityという。楕円がどれほど歪んでいるかを表し、焦点は楕円の中心から$\epsilon a$だけ離れている。$k$あるいは$e$と表記することもある。
$$ \epsilon^{2}=k^{2}=e^{2} =\begin{cases} \frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}} ,&0<b<a \\ \frac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}}, &0<a<b \end{cases} $$
焦点から長半径に垂直になるように引いた線が楕円と交わる点と焦点までの距離$\alpha$を通径^{latus rectum}という。$\alpha = (1-\epsilon^{2})a$が成り立つ。
$r_{0}$は焦点から近点^pericenterまでの距離であり、$r_{0}=(1-\epsilon)a$が成り立つ。
$r_{1}$は焦点から遠点^apocenterまでの距離であり、$r_{1}=(1+\epsilon)a$が成り立つ。

説明

二つの焦点が同じであれば円であるため、普通、楕円といえば二つの焦点が互いに異なることを意味する。

判別法

与えられた二次曲線$Ax^{2} + Bxy + Cy^{2} + Dx + Ey + F = 0$に対して$\Delta = B^{2} - 4AC$を判別式^discriminantという。判別式が負である二次曲線は楕円である。

楕円の方程式

楕円の中心が$(x_{0}, y_{0})$であり長半径が$a$、短半径が$b$である楕円の方程式は次のとおりである。

$$ \frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1 $$

極座標で焦点が原点である楕円の方程式

極座標系での楕円の方程式は次のとおりである。

$$ r = \frac{\alpha}{1+\epsilon \cos \theta} $$

あるいは

$$ r = \frac{b^{2}/a}{1+\frac{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}{a}\cos\theta} $$

楕円の面積

長半径が$a$、短半径が$b$である楕円の面積$A$は次のとおりである。

$$ A=ab\pi $$

楕円の周長

上図のような楕円の周長は次のとおりである。

$$ 4b\int _{0} ^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}} \sqrt{ 1-k^{2}\sin^{2} \theta } d\theta ,\quad k^{2}=\frac{b^{2}-a^{2} }{b^{2}} $$

第2種楕円積分

以下の積分をそれぞれ第2種完全楕円積分、第2種不完全楕円積分という。

$$ E(k)=\int_{0}^{{\textstyle \frac{\pi}{2}}}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta} d\theta $$

$$ E(\phi, k)=\int_{0}^{\phi}\sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \theta}d\theta $$

楕円の一般化、楕円体

線形変換$A \in \mathbb{R}^{m \times m}$に対して$m$次元単位球$N := \left\{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{m} : \left\| \mathbf{x} \right\|_{2} = 1 \right\}$の像$AN$を楕円体^ellipsoidという。$A$の固有値$\sigma_{1}^{2} > \cdots \ge \sigma_{m}^{2} \ge 0$とそれに伴う単位固有ベクトル$u_{1} , \cdots , u_{m}$に対して$\sigma_{i} u_{i}$を楕円体の軸^axisという。