📂Analysis

Uniform Convergence and Integrability of Function Series

정리¹

구간 $[a, b]$에서 적분가능한 함수들의 수열 $\left\{ f_{n} : f_{n} \text{ is integrable on } [a, b] \right\}$이 $[a, b]$에서 $f$로 균등 수렴한다고 하자. $$ f_{n} \rightrightarrows f $$ 그러면 $f$도 $[a, b]$에서 적분가능하고 다음이 성립한다. $$ \int_{a}^{b} f dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} dx \tag{1} $$

설명²

정리의 결과를 한마디로 표현하면 “극한의 적분과 적분의 극한이 같다"이다. 즉, 극한 기호와 적분 기호의 순서를 바꾸는 것이 가능하다.

$$ \int_{a}^{b} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) dx = \lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} (x) dx $$

적분과 관련하여 함수열의 균등수렴을 생각하는 이유는 점별수렴은 미분가능성을 보존하지 않기 때문이다. 다시말해 적분가능한 $f_{n}$이 $f$로 점별수렴한다고 해서 $f$가 적분가능하다는 것을 보장하지 않는다.

반례

구간 $[0, 1]$에서 $f_{n} \to f$이지만,

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n} (x) dx \ne \int_{0}^{1} \left( \lim\limits_{n \to \infty} f_{n} (x) \right) dx $$

가 성립하는 어떤 연속함수 $f_{n}$과 $f$가 존재한다.

증명

$f_{1}(x) = 1$이라 하자. $n \gt 1$에 대해서, $f_{n}$을 다음과 같이 밑변의 길이가 $\dfrac{2}{n}$, 높이가 $n$인 삼각형의 그래프를 그리도록 정의하자. $$ f_{n}(x) = \begin{cases} n^{2}x & \text{if } 0 \le x \lt \frac{1}{n} \\ 2n - n^{2}x & \text{if } \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n} \\ 0 & \text{if } \frac{2}{n} \lt x \le 1 \end{cases} $$

구간 $[0, 1]$에서 $f_{n}$는 $0$으로 점별수렴하므로,

$$ \int_{0}^{1} \lim\limits_{n \to \infty} f_{n}(x) dx = \int_{0}^{1} 0 dx = 0 $$

그러나 $f_{n}$의 그래프가 그리는 삼각형의 넓이는 항상 $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{n} \times n = 1$이므로,

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) dx = 1 $$

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증명

$f$가 적분 가능하다.

$\varepsilon_{n} = \sup\limits_{x} \left| f_{n}(x) - f(x) \right|$라 두면 다음이 성립한다.

$$ f_{n} - \varepsilon_{n} \le f \le f_{n} + \varepsilon_{n} $$

그러면 $f$의 리만 상적분과 하적분에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \implies \underline{\int} (f_{n} - \varepsilon_{n}) dx \le \underline{\int} f dx \le \overline{\int} f dx \le \overline{\int} (f_{n} + \varepsilon_{n}) dx $$

$f_{n}$은 적분가능하므로 $\displaystyle \left( \underline{\int} f_{n} = \int_{a}^{b} f_{n}= \overline{\int} f_{n} \right)$,

$$ \int_{a}^{b} (f_{n} - \varepsilon_{n}) dx \le \underline{\int} f dx \le \overline{\int} f dx \le \int_{a}^{b} (f_{n} + \varepsilon_{n}) dx \tag{2} $$

$$ \implies 0 \le \overline{\int} f dx - \underline{\int} f dx \le \int_{a}^{b} 2\varepsilon_{n} dx = 2 \varepsilon_{n} (b-a) $$

$f_{n} \rightrightarrows f$이므로 $\lim\limits_{n \to \infty} \varepsilon_{n} = 0$이다. 따라서 상적분과 하적분이 같고, 이는 $f$가 리만적분 가능하다는 의미이다.

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$(1)$이 성립한다

$f$가 적분가능하므로 $(2)$로부터 다음을 얻는다.

$$ \int_{a}^{b} f dx \le \int_{a}^{b} f_{n} + \varepsilon_{n} dx $$

$$ \implies \left| \int_{a}^{b} f dx - \int_{a}^{b} f_{n} dx \right| \le \varepsilon_{n} (b-a) $$

$\lim\limits_{n \to \infty} \varepsilon_{n} = 0$이므로, $\lim\limits_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_{n} dx = \int_{a}^{b} f dx$이다.

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