회전하는 좌표계에서 운동하는 물체의 속도와 가속도
📂고전역학 회전하는 좌표계에서 운동하는 물체의 속도와 가속도 공식 회전하는 좌표계에서 물체의 속도와 가속도는 다음과 같다.
v = v ′ + ω × r ′ + V 0
\mathbf{v} = \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} +\mathbf{V}_{0}
v = v ′ + ω × r ′ + V 0
a = a ′ + ω ˙ × r ′ + 2 ω × v ′ + ω × ( ω × r ′ ) + A 0
\mathbf{a} = \mathbf{a}^{\prime} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime}+ 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) + \mathbf{A}_{0}
a = a ′ + ω ˙ × r ′ + 2 ω × v ′ + ω × ( ω × r ′ ) + A 0
회전하는 좌표계 달리는 기차가 있고 그 안에서 날아다니는 파리가 있다고 하자. 기차 안의 사람은 파리의 움직임만을 고려하면 되므로 파리의 운동을 설명하기 쉽다. 하지만 기차 밖의 사람은 기차의 운동도 같이 고려해야하기 때문에 훨씬 어렵다. 이때 파리의 운동을 두 부분으로 나누어서 생각해보자. 지면에 대해서 달리는 기차와 기차에 대해서 움직이는 파리로 나눠보자. 기차에 대해서 움직이는 파리를 설명하는 것은 기차 안에서 보는 것과 같으므로 쉽게 해결할 수 있다. 또한 지면에 대해서 달리는 기차를 설명하는 것도 어렵지 않다. 복잡해보이는 운동은 위와 같이 이해하기 쉬운 부분으로 나누어서 생각하면 비교적으로 쉽게 다룰 수 있다. 이제 고정된 좌표계에 대해서 회전하는 좌표계 위에서 움직이는 물체의 운동을 생각해보자. 쉽게 비유하자면 회전하는 디스코 팡팡 위에서 움직이는 사람의 변위, 속도, 가속도를 밖에서 보고 있는 사람이 어떻게 표현할 수 있는가 하는 것이다. 아래의 그림을 보자.
좌표계에 상관없이 r \mathbf{r} r r ′ \mathbf{r}^{\prime} r ′
r = x i + y j + z k = x ′ i ′ + y ′ j ′ + z ′ k ′ = r ′
\begin{align*}
\mathbf{r} &= x \mathbf{i}+ y\mathbf{j}+z\mathbf{k}
\\ &= x^{\prime} \mathbf{i}^{\prime}+ y^{\prime}\mathbf{j}^{\prime}+z^{\prime}\mathbf{k}^{\prime}
\\ &= \mathbf{r}^{\prime}
\end{align*}
r = x i + y j + z k = x ′ i ′ + y ′ j ′ + z ′ k ′ = r ′
이때 i = x ^ \mathbf{i}=\hat{\mathbf{x}} i = x ^ j = y ^ \mathbf{j}=\hat{\mathbf{y}} j = y ^ k = z ^ \mathbf{k}=\hat{\mathbf{z}} k = z ^
속도 이제 r \mathbf{r} r r ′ \mathbf{r}^{\prime} r ′ r \mathbf{r} r r ′ \mathbf{r}^{\prime} r ′ i \mathbf{i} i j \mathbf{j} j k \mathbf{k} k d i d t = 0 \dfrac{d\mathbf{i} }{dt}=0 d t d i = 0 i ′ \mathbf{i}^{\prime} i ′ j ′ \mathbf{j}^{\prime} j ′ k ′ \mathbf{k}^{\prime} k ′ 0 0 0
d r d t = d x d t i + d y d t j + d z d t k = d x ′ d t i ′ + x ′ d i ′ d t + d y ′ d t j ′ + y ′ d j ′ d t + d z ′ d t k ′ + z ′ d k ′ d t = d r ′ d t
\begin{align*}
\dfrac{d \mathbf{r} } {dt} &= \dfrac{dx}{dt} \mathbf{i}+ \dfrac{dy}{dt} \mathbf{j}+\dfrac{dz}{dt} \mathbf{k}
\\ &= \dfrac{dx^{\prime}}{dt} \mathbf{i}^{\prime}+x^{\prime}\dfrac{ d\mathbf{i}^{\prime}}{dt} + \dfrac{dy^{\prime}}{dt}\mathbf{j}^{\prime} + y^{\prime}\dfrac{d \mathbf{j}^{\prime} } {dt} + \dfrac{dz^{\prime}}{dt} \mathbf{k}^{\prime} + z^{\prime}\dfrac{d \mathbf{k}^{\prime} }{dt}
\\ &=\frac{d\mathbf{r}^{\prime}}{dt}
\end{align*}
d t d r = d t d x i + d t d y j + d t d z k = d t d x ′ i ′ + x ′ d t d i ′ + d t d y ′ j ′ + y ′ d t d j ′ + d t d z ′ k ′ + z ′ d t d k ′ = d t d r ′
d x ′ d t i ′ + d y ′ d t j ′ + d z ′ d t k ′ \dfrac{dx^{\prime}}{dt} \mathbf{i}^{\prime}+\dfrac{dy^{\prime}}{dt}\mathbf{j}^{\prime} +\dfrac{dz^{\prime}}{dt} \mathbf{k}^{\prime} d t d x ′ i ′ + d t d y ′ j ′ + d t d z ′ k ′
v = v ′ + x ′ d i ′ d t + y ′ d j ′ d t + z ′ d k ′ d t
\mathbf{v} = \mathbf{v}^{\prime}+x^{\prime}\dfrac{ d\mathbf{i}^{\prime}}{dt}+ y^{\prime}\dfrac{d \mathbf{j}^{\prime} } {dt}+ z^{\prime}\dfrac{d \mathbf{k}^{\prime} }{dt}
v = v ′ + x ′ d t d i ′ + y ′ d t d j ′ + z ′ d t d k ′
이제 세 단위벡터의 미분을 계산해보자.
각이 충분히 작을 때 호의 길이와 현의 길이는 근사
∣ Δ i ′ ∣ ≈ ∣ i ′ ∣ sin ϕ Δ θ = sin ϕ Δ θ
| \Delta \mathbf{i}^{\prime} | \approx | \mathbf{i}^{\prime} | \sin \phi \Delta \theta = \sin \phi \Delta \theta
∣Δ i ′ ∣ ≈ ∣ i ′ ∣ sin ϕ Δ θ = sin ϕ Δ θ
따라서
∣ d i ′ d t ∣ = lim Δ t → 0 ∣ Δ i ′ Δ t ∣ = sin ϕ lim Δ → 0 Δ θ Δ t = sin ϕ d θ d t = sin ϕ ω
\begin{align*}
\left| \dfrac{d \mathbf{i}^{\prime}} {dt} \right| &= \lim \limits_{\Delta t \rightarrow 0} \left| \dfrac { \Delta \mathbf{i}^{\prime}} {\Delta t} \right|
\\ &=\sin \phi \lim \limits_{\Delta \rightarrow 0} \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}
\\ &= \sin \phi \dfrac{d\theta}{dt}
\\ &= \sin \phi \omega
\end{align*}
d t d i ′ = Δ t → 0 lim Δ t Δ i ′ = sin ϕ Δ → 0 lim Δ t Δ θ = sin ϕ d t d θ = sin ϕ ω
또한 Δ i ′ \Delta \mathbf{i}^{\prime} Δ i ′ ω \boldsymbol{\omega} ω i \mathbf{i} i
d i ′ d t = ω × i ′
\dfrac{d \mathbf{i}^{\prime} }{dt}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{i}^{\prime}
d t d i ′ = ω × i ′
비슷한 방식으로 아래의 식들이 성립함을 알 수 있다.
d j ′ d t = ω × j , d k ′ d t ω × k ′
\dfrac{ d \mathbf{j}^{\prime}}{dt}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{j},\quad \dfrac{ d \mathbf{k}^{\prime} }{dt}\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{k}^{\prime}
d t d j ′ = ω × j , d t d k ′ ω × k ′
따라서
x ′ d i ′ d t + y ′ d j ′ d t + z ′ d k ′ d t = ω × x ′ i ′ + ω × y ′ j ′ + ω × z ′ k ′ = ω × ( x ′ i ′ + y ′ j ′ + z ′ k ′ ) = ω × r ′
\begin{align*}
x^{\prime}\dfrac{ d\mathbf{i}^{\prime}}{dt}+ y^{\prime}\dfrac{d \mathbf{j}^{\prime} } {dt}+ z^{\prime}\dfrac{d \mathbf{k}^{\prime} }{dt} &= \boldsymbol{\omega} \times x^{\prime}\mathbf{i}^{\prime}+ \boldsymbol{\omega} \times y^{\prime} \mathbf{j}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times z^{\prime} \mathbf{k}^{\prime}
\\ &= \boldsymbol{\omega} \times \left( x^{\prime}\mathbf{i}^{\prime}+ y^{\prime} \mathbf{j}^{\prime} + z^{\prime} \mathbf{k}^{\prime} \right)
\\ &= \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}
\end{align*}
x ′ d t d i ′ + y ′ d t d j ′ + z ′ d t d k ′ = ω × x ′ i ′ + ω × y ′ j ′ + ω × z ′ k ′ = ω × ( x ′ i ′ + y ′ j ′ + z ′ k ′ ) = ω × r ′
이므로
v = v ′ + ω × r ′
\mathbf{v} = \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}
v = v ′ + ω × r ′
이를 구체적으로 적으면
d r d t f = d r ′ d t r + ω × r ′ = [ d d t r + ω × ] r ′
\dfrac{d \mathbf{r}}{dt}_{f} = \frac{ d \mathbf{r}^{\prime} }{ dt }_{r}+\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}^{\prime}=\left[ \dfrac{d}{dt}_{r}+\boldsymbol{\omega}\times \right] \mathbf{r}^{\prime}
d t d r f = d t d r ′ r + ω × r ′ = [ d t d r + ω × ] r ′
아랫첨자 f _{f} f r _{r} r d d t f \dfrac{d}{dt}_{f} d t d f i \mathbf{i} i j \mathbf{j} j k \mathbf{k} k 0 0 0 d d t r \dfrac{d}{dt}_{r} d t d r i ′ \mathbf{i}^{\prime} i ′ j ′ \mathbf{j}^{\prime} j ′ k ′ \mathbf{k}^{\prime} k ′ 0 0 0
가속도 처음 시작할 때 r = r ′ \mathbf{r}=\mathbf{r}^{\prime} r = r ′ r ( = r ′ ) \mathbf{r}(=\mathbf{r}^{\prime}) r ( = r ′ )
d A d t f = [ d d t r + ω × ] A
\dfrac{d \mathbf{A}}{dt}_{f} = \left[ \dfrac{d}{dt}_{r} + \boldsymbol{\omega} \times \right] \mathbf{A}
d t d A f = [ d t d r + ω × ] A
여기에 속도 v = v ′ + ω × r ′ \mathbf{v}=\mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} v = v ′ + ω × r ′
d v d t f = [ d d t r + ω × ] ( v ′ + ω × r ′ ) = d d t r ( v ′ + ω × r ′ ) + ω × ( v ′ + ω × r ′ ) = d v ′ d t r + d d t r ( ω × r ′ ) + ω × v ′ + ω × ( ω × r ′ ) = d v ′ d t r + d ω d t r × r ′ + ω × d r ′ d t r + ω × v ′ + ω × ( ω × r ′ )
\begin{align*}
\dfrac{d \mathbf{v}}{dt}_{f} &=\left[ \dfrac{d}{dt}_{r} +\boldsymbol{\omega} \times \right] (\mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime})
\\ &= \dfrac{d}{dt}_{r}(\mathbf{v}^{\prime} +\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) + \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}^{\prime} )
\\ &= \dfrac{d \mathbf{v}^{\prime}}{dt}_{r} + \dfrac{d}{dt}_{r} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} )+ \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega}\times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} )
\\ &= \dfrac{d\mathbf{v}^{\prime}}{dt} _{r} + \dfrac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}_{r} \times \mathbf{r}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \dfrac{d \mathbf{r}^{\prime} }{dt}_{r} + \boldsymbol{\omega}\times \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} )
\end{align*}
d t d v f = [ d t d r + ω × ] ( v ′ + ω × r ′ ) = d t d r ( v ′ + ω × r ′ ) + ω × ( v ′ + ω × r ′ ) = d t d v ′ r + d t d r ( ω × r ′ ) + ω × v ′ + ω × ( ω × r ′ ) = d t d v ′ r + d t d ω r × r ′ + ω × d t d r ′ r + ω × v ′ + ω × ( ω × r ′ )
이를 간단하게 정리하면
a = a ′ + ω ˙ × r ′ + ω × v ′ + ω × v ′ + ω × ( ω × r ′ ) = a ′ + ω ˙ × r ′ + 2 ω × v ′ + ω × ( ω × r ′ )
\begin{align*}
\mathbf{a} &= \mathbf{a}^{\prime} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime}+ \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime})
\\ &= \mathbf{a}^{\prime} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime}+ 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime})
\end{align*}
a = a ′ + ω ˙ × r ′ + ω × v ′ + ω × v ′ + ω × ( ω × r ′ ) = a ′ + ω ˙ × r ′ + 2 ω × v ′ + ω × ( ω × r ′ )
이는 디스코 팡팡 밖에서 디스코 팡팡 위의 물체의 움직임을 회전하는 좌표계에서의 변위, 속도, 가속도로 표현할 수 있다는 말이다. 만약 회전하는 좌표계가 고정된 좌표계에 대해서 병진운동(직선운동, 평행이동)까지 할 경우 좌표계가 병진운동 하는 속도와 가속도만 더해주면 된다.
v = v ′ + ω × r ′ + V 0
\mathbf{v} = \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} +\mathbf{V}_{0}
v = v ′ + ω × r ′ + V 0
a = a ′ + ω ˙ × r ′ + 2 ω × v ′ + ω × ( ω × r ′ ) + A 0
\mathbf{a} = \mathbf{a}^{\prime} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime}+ 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) + \mathbf{A}_{0}
a = a ′ + ω ˙ × r ′ + 2 ω × v ′ + ω × ( ω × r ′ ) + A 0
