📂고전역학

회전하는 좌표계에서 운동하는 물체의 속도와 가속도

공식

회전하는 좌표계에서 물체의 속도와 가속도는 다음과 같다.

$$ \mathbf{v} = \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} +\mathbf{V}_{0} $$

$$ \mathbf{a} = \mathbf{a}^{\prime} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime}+ 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) + \mathbf{A}_{0} $$

회전하는 좌표계¹

달리는 기차가 있고 그 안에서 날아다니는 파리가 있다고 하자. 기차 안의 사람은 파리의 움직임만을 고려하면 되므로 파리의 운동을 설명하기 쉽다. 하지만 기차 밖의 사람은 기차의 운동도 같이 고려해야하기 때문에 훨씬 어렵다. 이때 파리의 운동을 두 부분으로 나누어서 생각해보자. 지면에 대해서 달리는 기차와 기차에 대해서 움직이는 파리로 나눠보자. 기차에 대해서 움직이는 파리를 설명하는 것은 기차 안에서 보는 것과 같으므로 쉽게 해결할 수 있다. 또한 지면에 대해서 달리는 기차를 설명하는 것도 어렵지 않다. 복잡해보이는 운동은 위와 같이 이해하기 쉬운 부분으로 나누어서 생각하면 비교적으로 쉽게 다룰 수 있다. 이제 고정된 좌표계에 대해서 회전하는 좌표계 위에서 움직이는 물체의 운동을 생각해보자. 쉽게 비유하자면 회전하는 디스코 팡팡 위에서 움직이는 사람의 변위, 속도, 가속도를 밖에서 보고 있는 사람이 어떻게 표현할 수 있는가 하는 것이다. 아래의 그림을 보자.

좌표계에 상관없이 $\mathbf{r}$과 $\mathbf{r}^{\prime}$ 두 벡터는 같다. 이름은 달라도 분명히 같은 벡터이다.

$$ \begin{align*} \mathbf{r} &= x \mathbf{i}+ y\mathbf{j}+z\mathbf{k} \\ &= x^{\prime} \mathbf{i}^{\prime}+ y^{\prime}\mathbf{j}^{\prime}+z^{\prime}\mathbf{k}^{\prime} \\ &= \mathbf{r}^{\prime} \end{align*} $$

이때 $\mathbf{i}=\hat{\mathbf{x}}$, $\mathbf{j}=\hat{\mathbf{y}}$, $\mathbf{k}=\hat{\mathbf{z}}$이다.

속도

이제 $\mathbf{r}$과 $\mathbf{r}^{\prime}$을 시간에 대해서 미분해보자. $\mathbf{r}$를 미분하는 것은 늘 해왔던 것이니 어려울게 없다. 하지만 $\mathbf{r}^{\prime}$를 미분할 때는 주의가 필요하다. $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$는 시간에 따라 변하지 않으므로 $\dfrac{d\mathbf{i} }{dt}=0$이지만 $\mathbf{i}^{\prime}$, $\mathbf{j}^{\prime}$, $\mathbf{k}^{\prime}$는 회전하고 있으므로 시간에 대한 변화율이 $0$이 아니다. 이에 주의해서 미분하면

$$ \begin{align*} \dfrac{d \mathbf{r} } {dt} &= \dfrac{dx}{dt} \mathbf{i}+ \dfrac{dy}{dt} \mathbf{j}+\dfrac{dz}{dt} \mathbf{k} \\ &= \dfrac{dx^{\prime}}{dt} \mathbf{i}^{\prime}+x^{\prime}\dfrac{ d\mathbf{i}^{\prime}}{dt} + \dfrac{dy^{\prime}}{dt}\mathbf{j}^{\prime} + y^{\prime}\dfrac{d \mathbf{j}^{\prime} } {dt} + \dfrac{dz^{\prime}}{dt} \mathbf{k}^{\prime} + z^{\prime}\dfrac{d \mathbf{k}^{\prime} }{dt} \\ &=\frac{d\mathbf{r}^{\prime}}{dt} \end{align*} $$

$\dfrac{dx^{\prime}}{dt} \mathbf{i}^{\prime}+\dfrac{dy^{\prime}}{dt}\mathbf{j}^{\prime} +\dfrac{dz^{\prime}}{dt} \mathbf{k}^{\prime}$는 회전 좌표계를 고정된 좌표계로 봤을 때의 물체의 속도와 같다. 즉, 디스코 팡팡에 같이 탄 사람이 관찰했을 때의 사람의 속도이다. 따라서 정리하면

$$ \mathbf{v} = \mathbf{v}^{\prime}+x^{\prime}\dfrac{ d\mathbf{i}^{\prime}}{dt}+ y^{\prime}\dfrac{d \mathbf{j}^{\prime} } {dt}+ z^{\prime}\dfrac{d \mathbf{k}^{\prime} }{dt} $$

이제 세 단위벡터의 미분을 계산해보자.

각이 충분히 작을 때 호의 길이와 현의 길이는 근사 하므로

$$ | \Delta \mathbf{i}^{\prime} | \approx | \mathbf{i}^{\prime} | \sin \phi \Delta \theta = \sin \phi \Delta \theta $$

따라서

$$ \begin{align*} \left| \dfrac{d \mathbf{i}^{\prime}} {dt} \right| &= \lim \limits_{\Delta t \rightarrow 0} \left| \dfrac { \Delta \mathbf{i}^{\prime}} {\Delta t} \right| \\ &=\sin \phi \lim \limits_{\Delta \rightarrow 0} \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t} \\ &= \sin \phi \dfrac{d\theta}{dt} \\ &= \sin \phi \omega \end{align*} $$

또한 $\Delta \mathbf{i}^{\prime}$는 $\boldsymbol{\omega}$, $\mathbf{i}$와 수직한다. 따라서 두 벡터의 외적으로 표현할 수 있다.

$$ \dfrac{d \mathbf{i}^{\prime} }{dt}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{i}^{\prime} $$

비슷한 방식으로 아래의 식들이 성립함을 알 수 있다.

$$ \dfrac{ d \mathbf{j}^{\prime}}{dt}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{j},\quad \dfrac{ d \mathbf{k}^{\prime} }{dt}\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{k}^{\prime} $$

따라서

$$ \begin{align*} x^{\prime}\dfrac{ d\mathbf{i}^{\prime}}{dt}+ y^{\prime}\dfrac{d \mathbf{j}^{\prime} } {dt}+ z^{\prime}\dfrac{d \mathbf{k}^{\prime} }{dt} &= \boldsymbol{\omega} \times x^{\prime}\mathbf{i}^{\prime}+ \boldsymbol{\omega} \times y^{\prime} \mathbf{j}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times z^{\prime} \mathbf{k}^{\prime} \\ &= \boldsymbol{\omega} \times \left( x^{\prime}\mathbf{i}^{\prime}+ y^{\prime} \mathbf{j}^{\prime} + z^{\prime} \mathbf{k}^{\prime} \right) \\ &= \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} \end{align*} $$

이므로

$$ \mathbf{v} = \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} $$

이를 구체적으로 적으면

$$ \dfrac{d \mathbf{r}}{dt}_{f} = \frac{ d \mathbf{r}^{\prime} }{ dt }_{r}+\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}^{\prime}=\left[ \dfrac{d}{dt}_{r}+\boldsymbol{\omega}\times \right] \mathbf{r}^{\prime} $$

아랫첨자 $_{f}$는 고정된 좌표계에 대한 시간 미분을 의미하며 fixed의 앞글자를 따왔다. 아랫첨자 $_{r}$은 회전하는 좌표계에 대한 시간 미분을 의미하며 rotation의 앞글자를 따왔다. 즉 $\dfrac{d}{dt}_{f}$는 $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{k}$를 $0$으로 만들고, $\dfrac{d}{dt}_{r}$은 $\mathbf{i}^{\prime}$, $\mathbf{j}^{\prime}$, $\mathbf{k}^{\prime}$을 $0$으로 만든다.

가속도

처음 시작할 때 $\mathbf{r}=\mathbf{r}^{\prime}$였으므로 $\mathbf{r}(=\mathbf{r}^{\prime})$자리에 어떤 벡터를 대입해도 식이 성립한다.

$$ \dfrac{d \mathbf{A}}{dt}_{f} = \left[ \dfrac{d}{dt}_{r} + \boldsymbol{\omega} \times \right] \mathbf{A} $$

여기에 속도 $\mathbf{v}=\mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}$을 대입하면

$$ \begin{align*} \dfrac{d \mathbf{v}}{dt}_{f} &=\left[ \dfrac{d}{dt}_{r} +\boldsymbol{\omega} \times \right] (\mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) \\ &= \dfrac{d}{dt}_{r}(\mathbf{v}^{\prime} +\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) + \boldsymbol{\omega} \times (\mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{r}^{\prime} ) \\ &= \dfrac{d \mathbf{v}^{\prime}}{dt}_{r} + \dfrac{d}{dt}_{r} (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} )+ \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega}\times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} ) \\ &= \dfrac{d\mathbf{v}^{\prime}}{dt} _{r} + \dfrac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}_{r} \times \mathbf{r}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \dfrac{d \mathbf{r}^{\prime} }{dt}_{r} + \boldsymbol{\omega}\times \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} ) \end{align*} $$

이를 간단하게 정리하면

$$ \begin{align*} \mathbf{a} &= \mathbf{a}^{\prime} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime}+ \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega}\times \mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) \\ &= \mathbf{a}^{\prime} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime}+ 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) \end{align*} $$

이는 디스코 팡팡 밖에서 디스코 팡팡 위의 물체의 움직임을 회전하는 좌표계에서의 변위, 속도, 가속도로 표현할 수 있다는 말이다. 만약 회전하는 좌표계가 고정된 좌표계에 대해서 병진운동(직선운동, 평행이동)까지 할 경우 좌표계가 병진운동 하는 속도와 가속도만 더해주면 된다.

$$ \mathbf{v} = \mathbf{v}^{\prime} + \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime} +\mathbf{V}_{0} $$

$$ \mathbf{a} = \mathbf{a}^{\prime} + \dot{\boldsymbol{\omega}} \times \mathbf{r}^{\prime}+ 2\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{v}^{\prime}+\boldsymbol{\omega} \times ( \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}^{\prime}) + \mathbf{A}_{0} $$