📂전자기학

정상전류와 비오-사바르 법칙

정의¹

정상전류^{steady current}란 양과 진행 방향이 바뀌지 않고 끊임없이 계속되는 전하의 흐름을 말한다.

설명

시간에 따라 전류가 변하지 않으므로 정상전류가 만든 자기장 또 한 시간에 따라 변하지 않는다. 여기서 말하는 '진행 방향'이란, 흔히 생각하는 벡터의 방향과는 다른 개념이다. 반드시 직선으로 흘러야 한다는 얘기가 아니라, 휘어진 도선을 흐르더라도 한쪽 방향으로만 계속 흐른다면 진행 방향이 바뀌지 않은 것이다. 부피전하밀도를 $\rho$, 부피전류밀도를 $\mathbf{J}$라 하자. 그리고 이에 의해 생성되는 전류가 정상전류라면 정의에 의해 다음의 식이 성립한다.

$$ \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \quad \text{and} \quad \dfrac{\partial \mathbf{J}}{\partial t}=0 $$

따라서 연속방정식에 의해 다음의 식이 성립한다.

$$ \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 $$

물론 정상전류는 이론적인 것이고 실제로는 존재하지 않으므로 정상전류에 대한 내용은 완전히 이론적 얘기이다. 하지만 물리학의 많은 곳에서 이러한 이론은 실제와 제법 근사한다.

공식

정상전류가 만드는 자기장은 다음의 식으로 계산할 수 있고, 이를 비오-사바르 법칙^{Biot-Savart law}이라 한다.

$$ \mathbf{B}(\mathbf{r})=\dfrac{ \mu_{0}}{4\pi}\int \dfrac{\mathbf{I} \times \crH}{\cR ^2}dl^{\prime}=\dfrac{ \mu_{0}}{4\pi} I \int \dfrac{d \mathbf{l}^{\prime} \times \crH}{\cR ^2} $$

여기서 $\bcR$는 분리벡터, 상수 $\mu$는 투자율^permeability 이다. $\mu_{0}$는 진공에서의 투자율이다. 면 전류, 부피 전류에 대한 비오-사바르 법칙은 표면전류밀도와 부피전류밀도를 써서 나타낸다.

$$ \begin{align*} \mathbf{B}(\mathbf{r}) =&\ \dfrac{ \mu_{0}}{4\pi}\int \dfrac{\mathbf{K}(\mathbf{r}^{\prime}) \times \crH}{\cR ^2}da^{\prime} \\ \mathbf{B}(\mathbf{r}) =&\ \dfrac{ \mu_{0}}{4\pi}\int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime}) \times \crH}{\cR ^2}d\tau^{\prime} \end{align*} $$

예제

정상전류 $I$가 흐르는 도선에서 수직거리가 $s$인 곳의 자기장을 구하여라.

$$ \begin{align*} |d\mathbf{l}^{\prime} \times \crH | =&\ |d\mathbf{l}^{\prime}||\crH|\sin \alpha \\ =&\ dl^{\prime} \sin \alpha \\ =&\ dl^{\prime} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) \\ =&\ dl^{\prime} \cos \theta \end{align*} $$

$l^{\prime}=s\tan \theta$이므로

$$ dl^{\prime}=\dfrac{s}{\cos ^2 \theta}d\theta $$

$s=\cR \cos \theta$이므로

$$ \dfrac{1}{\cR ^2}=\dfrac{\cos ^2 \theta}{s^2} $$

이를 비오사바르 법칙에 대입해서 $\mathbf{B}(\mathbf{r})$의 크기를 계산하면

$$ \begin{align*} B =&\ \left| \dfrac{ \mu_{0}}{4\pi} I \int \dfrac{d \mathbf{l}^{\prime} \times \crH}{\cR ^2} \right| \\ =&\ \dfrac{ \mu_{0}}{4\pi} I \int \dfrac{ \left| d \mathbf{l}^{\prime} \times \crH \right| }{\cR ^2} \\ =&\ \dfrac{\mu_{0} I}{4\pi} \int \left( \dfrac{\cos ^2 \theta}{s^2} \right) \left( \dfrac{s}{\cos^2\theta} \right) \cos \theta d\theta \\ =&\ \dfrac{\mu_{0} I}{4\pi s} \int \cos \theta d\theta \end{align*} $$ 이 때 그림$(2)$처럼 도선 토막에 대한 경우였다면 적분 범위가 $\theta _{1}$부터 $\theta_2$까지이다. 예제는 무한한 길이의 도선에 대한 경우이므로 그림$(2)$에서 $\theta_{1}=-\dfrac{\pi}{2}$, $\theta_2=\dfrac{\pi}{2}$인 경우와 같다.따라서 자기장의 크기는 $$ \begin{align*} B =&\ \dfrac{\mu_{0} I}{4\pi s} \int_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta d\theta \\ =&\ \dfrac{\mu_{0} I}{4\pi s} \left(\sin {\textstyle \frac{\pi}{2}}- \sin {\textstyle \frac{-\pi}{2}} \right) \\ =&\ \dfrac{\mu_{0} I}{2\pi s} \end{align*} $$

방향은 오른손 법칙에 의해 종이를 뚫고 나오는 방향이다. 오른쪽을 원통좌표계의 $\hat{\mathbf{z}}$로 두면

$$ \mathbf{B}=\dfrac{\mu_{0} I}{2\pi s} \hat{\boldsymbol{\phi}} $$

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