📂電磁気学

定常電流とビオ・サバールの法則

定義¹

定常電流^{steady current}とは、量と進行方向が変わらず絶えず続く電荷の流れを指す。

説明

時間に対して電流が変化しないので、定常電流が作る磁場も時間に対して変化しない。ここで言う「進行方向」とは、一般に思うベクトルの方向とは異なる概念である。必ずしも直線で流れる必要はなく、曲がった導線を流れていても一方向にのみ流れ続けるなら進行方向は変わっていない。体積電荷密度を $\rho$、体積電流密度を $\mathbf{J}$ とする。そしてこれによって生じる電流が定常電流であれば定義により次の式が成り立つ。

$$ \dfrac{\partial \rho}{\partial t} = 0 \quad \text{and} \quad \dfrac{\partial \mathbf{J}}{\partial t}=0 $$

したがって連続方程式により次の式が成り立つ。

$$ \nabla \cdot \mathbf{J} = 0 $$

もちろん定常電流は理論的なもので実際には存在しないので、定常電流に関する内容は完全に理論的な話である。しかし物理学の多くの場面でこのような理論は実際にかなり近似的に成り立つ。定常電流が作る磁場は以下の法則に従い、この法則は静電学のクーロンの法則に対応する静磁気学の基本法則である。

法則

定常電流は磁場を作る。定常電流によって誘導される磁場の大きさと方向は次の法則に従い、これをビオ・サバールの法則^{Biot-Savart law}という。

1. 電流の強さ $I$ に比例する。
2. 微小導線の長さ $dl$ に比例する。
3. 微小電流の方向と分離ベクトルとのなす角 $\theta$ に関して、 $\sin\theta$ に比例する。
4. 距離の二乗 $\cR^{2}$ に反比例する。
5. その方向は微小電流の方向と観測点に関して右手の法則により $d\mathbf{l} \times \crH$ のように決まる。

公式

定常電流が作る磁場は次の式で計算できる。

$$ \mathbf{B}(\mathbf{r})=\dfrac{ \mu_{0}}{4\pi}\int \dfrac{\mathbf{I} \times \crH}{\cR ^2}dl^{\prime}=\dfrac{ \mu_{0}}{4\pi} I \int \dfrac{d \mathbf{l}^{\prime} \times \crH}{\cR ^2} $$

ここで $\bcR$ は分離ベクトル、定数 $\mu$ は透磁率^permeabilityである。 $\mu_{0}$ は真空中の透磁率である。面電流、体積電流に対するビオ・サバールの法則は表面電流密度と体積電流密度を用いて表す。

$$ \begin{align*} \mathbf{B}(\mathbf{r}) =&\ \dfrac{ \mu_{0}}{4\pi}\int \dfrac{\mathbf{K}(\mathbf{r}^{\prime}) \times \crH}{\cR ^2}da^{\prime} \\ \mathbf{B}(\mathbf{r}) =&\ \dfrac{ \mu_{0}}{4\pi}\int \dfrac{\mathbf{J}(\mathbf{r}^{\prime}) \times \crH}{\cR ^2}d\tau^{\prime} \end{align*} $$

例題

定常電流 $I$ が流れる導線から垂直距離が $s$ の場所の磁場を求めよ。

$$ \begin{align*} |d\mathbf{l}^{\prime} \times \crH | =&\ |d\mathbf{l}^{\prime}||\crH|\sin \alpha \\ =&\ dl^{\prime} \sin \alpha \\ =&\ dl^{\prime} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) \\ =&\ dl^{\prime} \cos \theta \end{align*} $$

$l^{\prime}=s\tan \theta$ なので

$$ dl^{\prime}=\dfrac{s}{\cos ^2 \theta}d\theta $$

$s=\cR \cos \theta$ なので

$$ \dfrac{1}{\cR ^2}=\dfrac{\cos ^2 \theta}{s^2} $$

これをビオ・サバールの法則に代入して $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ の大きさを計算すると

$$ \begin{align*} B =&\ \left| \dfrac{ \mu_{0}}{4\pi} I \int \dfrac{d \mathbf{l}^{\prime} \times \crH}{\cR ^2} \right| \\ =&\ \dfrac{ \mu_{0}}{4\pi} I \int \dfrac{ \left| d \mathbf{l}^{\prime} \times \crH \right| }{\cR ^2} \\ =&\ \dfrac{\mu_{0} I}{4\pi} \int \left( \dfrac{\cos ^2 \theta}{s^2} \right) \left( \dfrac{s}{\cos^2\theta} \right) \cos \theta d\theta \\ =&\ \dfrac{\mu_{0} I}{4\pi s} \int \cos \theta d\theta \end{align*} $$ このとき図$(2)$ のように導線の断片の場合であれば積分範囲は $\theta _{1}$ から $\theta_2$ までである。例題は無限長の導線の場合であるので図$(2)$ における $\theta_{1}=-\dfrac{\pi}{2}$、 $\theta_2=\dfrac{\pi}{2}$ に相当する。したがって磁場の大きさは $$ \begin{align*} B =&\ \dfrac{\mu_{0} I}{4\pi s} \int_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta d\theta \\ =&\ \dfrac{\mu_{0} I}{4\pi s} \left(\sin {\textstyle \frac{\pi}{2}}- \sin {\textstyle \frac{-\pi}{2}} \right) \\ =&\ \dfrac{\mu_{0} I}{2\pi s} \end{align*} $$

方向は右手の法則により紙面から突き出す向きである。右方向を円筒座標系の $\hat{\mathbf{z}}$ とすると

$$ \mathbf{B}=\dfrac{\mu_{0} I}{2\pi s} \hat{\boldsymbol{\phi}} $$

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