📂해석개론

분할, 리만 합, 리만 적분

분할¹

구간 $[a,b]$가 주어졌다고 하자. $[a,b]$의 분할^partition $P$를 아래와 같이 정의한다.

$$P := \left\{ x_{0},\ x_{1},\ \cdots, x_{n}\right\},\quad a=x_{0} <x_{1}<\cdots < x_{n} =b$$

그리고 $\Delta x_{i}$를 다음과 같이 정의한다.

$$\Delta x_{i} :=x_{i}-x_{i-1},\quad i=1,2,\cdots,n$$

설명

쉽게 말해서 분할이란 어떤 구간을 쪼갰을 때 구간의 양 끝과 구간 내 경계의 모든 점을 원소로 가지는 집합이다. 중요한 점은 분할을 얘기 하려면 반드시 어떤 구간에 대한 것인지가 필요하다는 것이다. 즉, 분할이라고 말할 수 없고 어떤 구간의 분할이라고 말해야 한다는 것이다.

리만 합

$f$를 $[a,b]$에서 정의된 유계인 함수, $P$를 $[a,b]$의 분할이라고 하자. 그리고 $M_{i}$, $m_{i}$를 아래와 같다고 하자.

$$\begin{align*} M_{i} &=\sup f(x),&(x_{i-1} \le x \le x_{i}) \\ m_{i}&=\inf f(x), &(x_{i-1} \le x \le x_{i}) \end{align*}$$

그러면 $U(P,f), L(P,f)$를 아래와 같이 정의하고 각각 $P$에 대한 $f$의 리만 상합, 하합^{upper and lower Riemann sum}이라 한다.

$$\begin{align*} U(P,f) &:=\sum \limits _{i=1} ^n M_{i} \Delta x_{i} \\ L(P,f) &:= \sum \limits _{i=1} ^{n} m_{i}\Delta x_{i} \end{align*}$$

설명

리만 합은 함수의 넓이를 구간을 쪼개서 근사하는 것으로, 구분구적법과 같다. 주어진 분할 $P$에 대해서 상합은 가장 큰 값, 하합은 가장 작은 값을 의미한다. 상합과 하합의 차이가 없을 정도로 근사했다면 이를 $f$의 그래프 아래의 면적이라고 봐도 될 것이다.

리만 적분

리만 상합에 구간 $[a,b]$의 모든 분할 $P$에 대해서 $\inf$을 취한 것을 $[a,b]$위에서 $f$의 리만 상적분^{upper Riemann integral}이라 한다.

을 각각의 $P$에 대한 리만 상합의 최대하계로 정의하고 아래와 같이 나타낸다.

$$\begin{equation} \overline{\int _{a}^{b}} f dx := \inf \limits_{P} U(P,f) \label{eq1} \end{equation}$$

마찬가지로 리만 하합에 구간 $[a,b]$의 모든 분할 $P$에 대해서 $\sup$을 취한 것을 $[a,b]$위에서 $f$의 리만 하적분^{lower Riemann integral}이라 한다.

$$\begin{equation} \underline {\int _{a}^b } f dx := \sup \limits_{P} L(P,f) \label{eq2} \end{equation}$$

$f$의 리만 상적분과 리만 하적분이 같을 때, $f$는 $[a,b]$에서 리만 적분가능^{Riemann integrable}하다 고 말하며 아래와 같이 표기한다.

$$f \in \mathscr{R}= \left\{ f : f \text{ is Riemann integrable} \right\}$$

$\mathscr R$은 리만 적분가능한 함수들의 집합이다. 그리고 $(1)$과 $(2)$의 공통된 값을 다음과 같이 표기하고 이를 $[a,b]$위에서 $f$의 리만 적분^{Riemann integral}이라 한다.

$$\underline {\int _{a}^b } f dx = \int _{a} ^b f dx = \overline {\int _{a}^b} f dx$$

혹은

$$\int _{a} ^b f(x) dx$$

설명

상적분은 $f$의 넓이보다 살짝 크게 근사한 것(상합) 중에서 가장 작은 것이고, 하적분은 $f$의 넓이보다 살짝 작게 근사한 것(하합) 중에서 가장 큰 것이다. 따라서 이 둘이 같을 때 $f$의 그래프의 넓이를 정확하게 근사했다고 말할 수 있을 것이다.

더하여 $f$가 유계이기 때문에 다음을 만족하는 두 상수 $M$, $m$이 존재한다.

$$m \le f(x) \le M \ \ \ (a\le x\le b)$$

따라서 임의의 모든 분할 $P$에 대해서 다음이 성립한다.

$$m(b-a) \le L(P,f) \le U(P,f) \le M(b-a)$$