📂위상수학

유한 교집합 성질

정의 ¹

위상공간 $X$ 에 대해 $\mathscr{A} \subset \mathscr{P} (X)$ 라고 하자. 모든 유한 부분집합 $A \subset \mathscr{A}$ 에 대해 $\displaystyle \bigcap A \ne \emptyset$ 이면 $A$ 가 유한 교집합 성질^{finite Intersection Property}을 가진다고 한다.

설명

$A$ 가 f.i.p.를 가진다는 것은 열린 집합 $U_{\alpha} \subset A$ 에 대해 항상 다음이 성립하는 것과 같다. $$ \bigcap_{i=1}^{n} \left( X \setminus U_{i} \right) \ne \emptyset \implies \bigcap_{\alpha \in \forall } \left( X \setminus U_{\alpha} \right) \ne \emptyset $$

이 성질은 위상공간이 아니라 그냥 집합에 대한 성질이라는 것에 주의하자. 예로써 $\displaystyle \left\{ \left. \left[ 0 , {{1} \over {n}} \right] \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\}$ 은 위상 따위를 주지 않아도 그냥 f.i.p.를 갖고 있다고 말할 수 있다.

다음의 정리는 컴팩트의 동치조건을 말해주므로 유용하지만 글로 적는 것부터 장황한데다 증명도 무척 이해하기 어렵다. 자괴감이 들어도 컴팩트가 원래 어려운 것이니 그러려니 하자.

정리

$X$ 가 컴팩트인 것과 필요충분조건은 f.i.p.를 가지고 닫힌 모든 $A_{\alpha} \subset X$ 에 대해 $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptyset$ 이다.

증명

열린 집합 $O_{\alpha}$ 와 닫힌 집합 $C_{\alpha}$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ X \setminus \left( \bigcap C_{\alpha} \right) = \bigcup \left( X \setminus C_{\alpha} \right) = \bigcup O_{\alpha} $$

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$( \implies )$

$\mathscr{C} := \left\{ C_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$ 가 $X$ 의 닫힌 집합들을 원소로 갖는 집합이고 f.i.p.를 갖는다고 하면 $\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} = X \setminus C_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$ 는 $X$ 의 열린 집합들을 원소로 갖는 집합이 된다.

$\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} = \emptyset$ 이라고 가정하면 $$ \bigcup_{\alpha \in \forall} \left( X \setminus C_{\alpha} \right) = X \setminus \left( \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} \right) = X \setminus \emptyset = X $$ 이고, 따라서 $X \subset \mathscr{O}$ 즉 $\mathscr{O}$ 는 $X$ 의 열린 커버가 된다. $X$ 는 컴팩트이므로 $\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right)$ 를 만족하는 유한 열린 커버 $\mathscr{O} ' = \left\{ X \setminus C_{i} \ | \ i = 1, 2 , \cdots , n \right\}$ 가 존재한다. 한편 $$ X = \bigcup_{i = 1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right) = X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} $$ 이므로 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset$ 이다. 이는 $\mathscr{C}$ 가 f.i.p.을 가진다는 전제에 모순이므로 $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} \ne \emptyset$ 이어야 한다.

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$( \impliedby )$

$\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$ 를 $X$ 의 열린 커버라고 하면 $\mathscr{C} := \left\{ X \setminus O_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\}$ 는 $X$ 의 닫힌 집합들을 원소로 갖는 집합이 된다.

한편 $$ \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} = \bigcap_{\alpha \in \forall} \left( X \setminus O_{\alpha} \right) = X \setminus \bigcup_{\alpha \in \forall} O_{\alpha} = X \setminus X = \emptyset $$ 이므로 $\mathscr{C}$ 는 f.i.p.를 가지지 않고, $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset$ 를 만족하는 $\mathscr{C} ' = \left\{ C_{i} \ | \ i = 1, 2 , \cdots , n \right\}$ 가 존재한다. 그리고 $$ X \setminus \bigcup_{i = 1}^{n} O_{i} = X \setminus \bigcup_{i=1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right) = X \setminus \left( X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} \right) = \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset $$ 이므로 $\displaystyle X \subset \bigcup_{i=1}^{n} O_{i}$ 이다. 다시 말해, 유한 부분 커버 $\left\{ O_{1}, O_{2}, \cdots , O_{n} \right\}$ 가 존재해서 $X$ 는 컴팩트가 된다.

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