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유한 교집합 성질 📂위상수학

유한 교집합 성질

정의 1

위상공간 XX 에 대해 A⊂P(X)\mathscr{A} \subset \mathscr{P} (X) 라고 하자. 모든 유한 부분집합 A⊂AA \subset \mathscr{A} 에 대해 ⋂A≠∅\displaystyle \bigcap A \ne \emptyset 이면 AA 가 유한 교집합 성질finite Intersection Property을 가진다고 한다.

설명

AA 가 f.i.p.를 가진다는 것은 열린 집합 Uα⊂AU_{\alpha} \subset A 에 대해 항상 다음이 성립하는 것과 같다. ⋂i=1n(X∖Ui)≠∅  ⟹  ⋂α∈∀(X∖Uα)≠∅ \bigcap_{i=1}^{n} \left( X \setminus U_{i} \right) \ne \emptyset \implies \bigcap_{\alpha \in \forall } \left( X \setminus U_{\alpha} \right) \ne \emptyset

이 성질은 위상공간이 아니라 그냥 집합에 대한 성질이라는 것에 주의하자. 예로써 {[0,1n] ∣ n∈N}\displaystyle \left\{ \left. \left[ 0 , {{1} \over {n}} \right] \ \right| \ n \in \mathbb{N} \right\} 은 위상 따위를 주지 않아도 그냥 f.i.p.를 갖고 있다고 말할 수 있다.

다음의 정리는 컴팩트의 동치조건을 말해주므로 유용하지만 글로 적는 것부터 장황한데다 증명도 무척 이해하기 어렵다. 자괴감이 들어도 컴팩트가 원래 어려운 것이니 그러려니 하자.

정리

XX 가 컴팩트인 것과 필요충분조건은 f.i.p.를 가지고 닫힌 모든 Aα⊂XA_{\alpha} \subset X 에 대해 ⋂α∈∀Aα≠∅\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} A_{\alpha} \ne \emptyset 이다.

증명

열린 집합 OαO_{\alpha} 와 닫힌 집합 CαC_{\alpha} 에 대해 다음이 성립한다. X∖(⋂Cα)=⋃(X∖Cα)=⋃Oα X \setminus \left( \bigcap C_{\alpha} \right) = \bigcup \left( X \setminus C_{\alpha} \right) = \bigcup O_{\alpha}

(  ⟹  )( \implies )

C:={Cα ∣ α∈∀}\mathscr{C} := \left\{ C_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\} 가 XX 의 닫힌 집합들을 원소로 갖는 집합이고 f.i.p.를 갖는다고 하면 O:={Oα=X∖Cα ∣ α∈∀}\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} = X \setminus C_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\} 는 XX 의 열린 집합들을 원소로 갖는 집합이 된다.

⋂α∈∀Cα=∅\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} = \emptyset 이라고 가정하면 ⋃α∈∀(X∖Cα)=X∖(⋂α∈∀Cα)=X∖∅=X \bigcup_{\alpha \in \forall} \left( X \setminus C_{\alpha} \right) = X \setminus \left( \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} \right) = X \setminus \emptyset = X 이고, 따라서 X⊂OX \subset \mathscr{O} 즉 O\mathscr{O} 는 XX 의 열린 커버가 된다. XX 는 컴팩트이므로 X=⋃i=1n(X∖Ci)\displaystyle X = \bigcup_{i=1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right) 를 만족하는 유한 열린 커버 O′={X∖Ci ∣ i=1,2,⋯ ,n}\mathscr{O} ' = \left\{ X \setminus C_{i} \ | \ i = 1, 2 , \cdots , n \right\} 가 존재한다. 한편 X=⋃i=1n(X∖Ci)=X∖⋂i=1nCi X = \bigcup_{i = 1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right) = X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} 이므로 ⋂i=1nCi=∅\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset 이다. 이는 C\mathscr{C} 가 f.i.p.을 가진다는 전제에 모순이므로 ⋂α∈∀Cα≠∅\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} \ne \emptyset 이어야 한다.

(  ⟸  )( \impliedby )

O:={Oα ∣ α∈∀}\mathscr{O} := \left\{ O_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\} 를 XX 의 열린 커버라고 하면 C:={X∖Oα ∣ α∈∀}\mathscr{C} := \left\{ X \setminus O_{\alpha} \ | \ \alpha \in \forall \right\} 는 XX 의 닫힌 집합들을 원소로 갖는 집합이 된다.

한편 ⋂α∈∀Cα=⋂α∈∀(X∖Oα)=X∖⋃α∈∀Oα=X∖X=∅ \bigcap_{\alpha \in \forall} C_{\alpha} = \bigcap_{\alpha \in \forall} \left( X \setminus O_{\alpha} \right) = X \setminus \bigcup_{\alpha \in \forall} O_{\alpha} = X \setminus X = \emptyset 이므로 C\mathscr{C} 는 f.i.p.를 가지지 않고, ⋂i=1nCi=∅\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset 를 만족하는 C′={Ci ∣ i=1,2,⋯ ,n}\mathscr{C} ' = \left\{ C_{i} \ | \ i = 1, 2 , \cdots , n \right\} 가 존재한다. 그리고 X∖⋃i=1nOi=X∖⋃i=1n(X∖Ci)=X∖(X∖⋂i=1nCi)=⋂i=1nCi=∅ X \setminus \bigcup_{i = 1}^{n} O_{i} = X \setminus \bigcup_{i=1}^{n} \left( X \setminus C_{i} \right) = X \setminus \left( X \setminus \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} \right) = \bigcap_{i=1}^{n} C_{i} = \emptyset 이므로 X⊂⋃i=1nOi\displaystyle X \subset \bigcup_{i=1}^{n} O_{i} 이다. 다시 말해, 유한 부분 커버 {O1,O2,⋯ ,On}\left\{ O_{1}, O_{2}, \cdots , O_{n} \right\} 가 존재해서 XX 는 컴팩트가 된다.

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  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p169. ↩︎