📂위상수학

위상수학에서 연속이란

정의

한국어

위상공간 $(X, \mathscr{T}_{X} )$ 와 $(Y, \mathscr{T}_{Y} )$ 에 대해, $f: X \to Y$ 라고 하자. $f(a)$ 를 포함하는 모든 $V \in \mathscr{T}_{Y}$ 에 대해 $f(U) \subset V$ 를 만족하면서 $a$ 를 포함하는 $U \in \mathscr{T}_{X}$ 가 존재하면 $f$ 를 $a$ 에서 연속^continuous라 한다. $f$ 가 $X$ 의 모든 점에서 연속이면 연속함수라 하고 $f \in C(X,Y)$ 로 나타낼 수 있다.

영어

$f$ is continuous at $a$ $\iff$ For all neighborhood $V \in \mathscr{T}_{Y}$ of $f(a)$, there exists a neighborhood $ U \in \mathscr{T}_{X}$ of $a$ such that $a \in U \implies f(a) \in f(U) \subset V$

설명

처음 이 정의를 보면 무슨 의미인지 이해하기 어려울텐데, 잘 생각해보면 해석학에서 연속을 정의할 때 $\epsilon > 0$이 주어질 때 마다 $\left| x - a \right| \lt \delta \implies \left| f(x) - f(a) \right| \lt \epsilon$인 $\delta$의 존재를 얘기하는 것과 정확하게 같은 센스라는 것을 알 수 있다. $\left\{ x : \left| x - a \right| \lt \delta \right\}$와 $\left\{ f(x) : \left| f(x) - f(a) \right| \lt \epsilon \right\}$가 오픈셋임에 주목하면, $\epsilon$이 주어질 때 마다 $\delta$를 찾을 수 있다는 말이 $Y$에서 오픈셋이 주어질 때 마다 $X$에서 조건을 만족하는 오픈셋을 찾을 수 있다는 말과 같다는 것이 이해될 것이다.

참고로 $C(X,Y)$ 는 정의역이 $X$ 고 공역이 $Y$ 인 연속함수들의 집합이다. 위상수학을 공부할 정도라면 보통 입실론-델타 논법은 닳고 닳을대로 봤을테니 글보다는 수식과 기호가 편할 것이다.

연속성이 유클리드 공간을 넘어 거리공간으로, 이제는 거리공간을 넘어 위상공간으로 일반화되었다.해석학에서 연속을 논하는 이유가 미분 때문이라면, 위상수학에선 위상동형을 논하기 위해서 연속의 개념이 필요하다.

다음은 연속점과 연속함수에 대한 여러가지 유용한 동치조건들이다. 동치조건이니만큼 교재에 따라서는 동치조건을 정의로 둘 수 있다.

연속점의 동치 조건

$a \in X$ 라고 하면 다음 명제들은 서로 동치다.

• (1): $f : X \to Y$ 는 $a$ 에서 연속이다.
• (2): $f(a)$ 를 포함하는 모든 $V \in \mathscr{T}_{Y}$ 에 대해 $a \in U \subset f^{-1} (V)$ 를 만족하는 $ U \in \mathscr{T}_{X}$ 가 존재한다.
• (3): 모든 $\mathcal{N} ( f(a) )$ 에 대해, $f^{-1} ( \mathcal{N} ( f(a) ) )$ 는 $a$ 의 네이버후드다.
• (4): $f(a) \in V^{\circ}$ 를 만족하는 모든 $V \subset Y$ 에 대해 $a \in (f^{-1} (V))^{\circ} $

참고로 $\mathcal{N} (a)$ 는 $a$ 를 포함하는 $X$ 의 열린 집합으로써, $a$ 의 근방^neighborhood이라 한다.

연속함수의 동치 조건

다음 명제들은 서로 동치다.

• [1]: $f : X \to Y$ 는 연속함수다.
• [2]: $f(a)$ 를 포함하는 모든 $V \in \mathscr{T}_{Y}$ 과 모든 점 $a \in f^{-1} (V)$ 에 대해, $a \in U_{a} \subset f^{-1} (V)$ 를 만족하는 $ U_{a} \in \mathscr{T}_{X}$ 가 존재한다.
• [3]: 모든 열린 집합 $V \subset Y$ 에 대해, $f^{-1} (V)$ 가 $X$ 에서 열린 집합이다¹.
• [4]: 모든 닫힌 집합 $C \subset Y$ 에 대해, $f^{-1} (C)$ 가 $X$ 에서 닫힌 집합이다.
• [5]: 모든 $A \subset X$ 에 대해, $f( \overline{A} ) \subset \overline{ f(A) } $
• [6]: 모든 $B \in \mathscr{B}$ 에 대해 $f^{-1} (B) \in \mathscr{T}_{X}$ 을 만족시키는 $\mathscr{T}_{Y}$ 의 기저 $\mathscr{B}$ 가 존재한다.
• [7]: 모든 $S \in \mathscr{S}$ 에 대해 $f^{-1} (S) \in \mathscr{T}_{X}$ 을 만족시키는 $\mathscr{T}_{Y}$ 의 부분기저 $\mathscr{S}$ 가 존재한다.
• [8] 연속함수의 합성함수: $f : X \to Y$ 와 $g : Y \to Z$ 가 연속함수면 합성함수 $g \circ f : X \to Z$ 도 연속이다.

연속함수의 또다른 정의

특히 ‘정리 [3]: 모든 열린 집합 $V \subset Y$ 에 대해, $f^{-1} (V)$ 가 $X$ 에서 열린 집합임’은 매우 빈번하게 쓰이고 아예 [3]으로 연속함수를 정의하는 경우도 많다. 위에서 열거된 모든 조건을 외울 필요는 없지만 [3]만큼은 반드시 기억하고 언제든지 꺼내 쓸 수 있도록 하자.