📂복소해석

조르당 보조정리 증명

정리 ¹

반원호 $\Gamma$ 를 $z(\theta) = R e^{i \theta} , 0 \le \theta \le \pi$ 와 같이 나타냈을 때, 함수 $f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 $\Gamma$ 에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = 0$ 이면 양수 $m \in \mathbb{R}^{+}$ 에 대해 $$\lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} e^{m i z } f(z) dz = 0$$

설명

[조르당]^jordan이라는 발음법은 콩글리쉬가 아니라 프랑스어에서 온 것이다. 보조정리이니만큼 바로 그 의미를 깨닫긴 어렵고, 여러가지 적분 테크닉에 쓰인다는 정도만 알아두면 충분하다. 증명은 따분해보이지만 의외로 별 거 없으니까 한번 정도는 제대로 공부해보는것도 나쁘지 않다.

푸리에 변환

푸리에 변환: $$\mathcal{F}f(\xi):=\int _{-\infty} ^{\infty}f(x)e^{-i \xi x}dx$$

$-\xi = m > 0$ 이고 연속함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 가 $\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ 을 만족한다면 형식적으로 조르당 보조정리의 피적분함수는 푸리에변환에서 등장하는 꼴과 유사하다.

증명

우선 $$\begin{align*} \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} dz \right| =& \left| \int_{0}^{\pi} e^{m i z} dz \right| \\ \le & \int_{0}^{\pi} \left| e^{m i R \cos{\theta}} \right| \left| e^{- m R \sin{\theta}} \right| \left| i R e^{i \theta} \right| d \theta \\ =& R \int_{0}^{\pi} e^{-m R \sin \theta} d \theta \\ =& 2 R \int_{0}^{\pi/2} e^{-m R \sin \theta} d \theta \end{align*}$$ 이 유계임을 보일 것이다. $0 = \sin 0$ 이고 $${{ 2 } \over { \pi }} = \left. {{ d } \over { d \theta }} {{ 2 \theta } \over { \pi }} \right|_{\theta = 0} < \left. {{ d } \over { d \theta }} \sin \theta \right|_{\theta = 0} = 1$$ 이므로 $\displaystyle \theta \in \left[ 0 , {{\pi} \over {2}} \right]$ 에서는 $\displaystyle {{2} \over {\pi}} \theta \le \sin{\theta}$ 이다. 지수함수로 올라가면 $\displaystyle e^{-m R \sin \theta} \le e^{-m R {{2} \over {\pi}} \theta }$ 이므로 $$\begin{align*} \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} dz \right| \le & 2 R \int_{0}^{\pi/2} e^{-m R {{2} \over {\pi}} \theta} d \theta \\ =& 2R \left[ - {{ \pi } \over { mR 2 }} e^{-m R {{2} \over {\pi}} \theta} \right]_{0}^{ \pi / 2} \\ =& {{\pi} \over {m}} (1 - e^{-mR} ) \\ <& {{\pi} \over {m}} \end{align*}$$ 즉 유계임을 보였다. 가정에서 $f$ 는 $\Gamma$ 상에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = 0$ 이므로 임의의 $\varepsilon >0$ 에 대해서 $$\left| {{1} \over {z}} \right| < \delta \implies |f(z)| < \varepsilon$$ 를 만족하는 $\delta > 0$ 이 존재할 것이다. $\Gamma$ 상에서 $|z|=R$ 이므로, $R$ 에 대해서 정리하면 $${{1} \over {R}} < \delta \implies |f(z)| < \varepsilon$$ 즉 임의의 $\varepsilon >0$ 에 대해서 $${{1} \over {R}} < \delta \implies \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} f(z) dz \right| < \varepsilon \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} dz \right| < {{ \varepsilon \pi} \over {m}}$$ 를 만족하는 $\delta > 0$ 이 존재하고, 다음을 얻는다. $$\lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} e^{m i z } f(z) dz = 0$$

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