📂複素解析

ジョルダンの補題の証明

定理 ¹

半円弧$\Gamma$を$z(\theta) = R e^{i \theta} , 0 \le \theta \le \pi$のように表したとき、関数$f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が$\Gamma$で連続であり$\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = 0$ならば、正の数$m \in \mathbb{R}^{+}$に対して $$ \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} e^{m i z } f(z) dz = 0 $$

説明

[ジョルダン]^jordanという発音はコングリッシュではなくフランス語から来たものである。補題であるだけに、その意味をすぐに理解するのは難しく、さまざまな積分テクニックに使われるという程度を知っておけば十分である。証明は退屈に見えるが、意外と大したことはないので、一度くらいはきちんと勉強してみるのも悪くない。

フーリエ変換

フーリエ変換: $$\mathcal{F}f(\xi):=\int _{-\infty} ^{\infty}f(x)e^{-i \xi x}dx$$

$-\xi = m > 0$であり連続関数$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$が$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$を満たすならば、形式的にジョルダンの補題の被積分関数はフーリエ変換に登場する形と類似している。

証明

まず $$ \begin{align*} \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} dz \right| =& \left| \int_{0}^{\pi} e^{m i z} dz \right| \\ \le & \int_{0}^{\pi} \left| e^{m i R \cos{\theta}} \right| \left| e^{- m R \sin{\theta}} \right| \left| i R e^{i \theta} \right| d \theta \\ =& R \int_{0}^{\pi} e^{-m R \sin \theta} d \theta \\ =& 2 R \int_{0}^{\pi/2} e^{-m R \sin \theta} d \theta \end{align*} $$ が有界であることを示す。$0 = \sin 0$であり $$ {{ 2 } \over { \pi }} = \left. {{ d } \over { d \theta }} {{ 2 \theta } \over { \pi }} \right|_{\theta = 0} < \left. {{ d } \over { d \theta }} \sin \theta \right|_{\theta = 0} = 1 $$ であるから、$\displaystyle \theta \in \left[ 0 , {{\pi} \over {2}} \right]$では$\displaystyle {{2} \over {\pi}} \theta \le \sin{\theta}$である。指数関数に上げると$\displaystyle e^{-m R \sin \theta} \le e^{-m R {{2} \over {\pi}} \theta }$であるから $$ \begin{align*} \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} dz \right| \le & 2 R \int_{0}^{\pi/2} e^{-m R {{2} \over {\pi}} \theta} d \theta \\ =& 2R \left[ - {{ \pi } \over { mR 2 }} e^{-m R {{2} \over {\pi}} \theta} \right]_{0}^{ \pi / 2} \\ =& {{\pi} \over {m}} (1 - e^{-mR} ) \\ <& {{\pi} \over {m}} \end{align*} $$ すなわち有界であることを示した。仮定より$f$は$\Gamma$上で連続であり$\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = 0$であるから、任意の$\varepsilon >0$に対して $$ \left| {{1} \over {z}} \right| < \delta \implies |f(z)| < \varepsilon $$ を満たす$\delta > 0$が存在する。$\Gamma$上で$|z|=R$であるから、$R$について整理すると $$ {{1} \over {R}} < \delta \implies |f(z)| < \varepsilon $$ すなわち任意の$\varepsilon >0$に対して $$ {{1} \over {R}} < \delta \implies \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} f(z) dz \right| < \varepsilon \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} dz \right| < {{ \varepsilon \pi} \over {m}} $$ を満たす$\delta > 0$が存在し、次を得る。 $$ \lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} e^{m i z } f(z) dz = 0 $$

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