라플라스분포의 최대우도추정량
정리
라플라스분포를 따르는 랜덤샘플 $\mathbf{X} := \left( X_{1} , \cdots , X_{n} \right) \sim \operatorname{Laplace}(\mu, b)$가 주어져 있다고 하자.
$(\mu, b)$에 대한 최대우도추정량 $(\hat{\mu}, \hat{b})$는 다음과 같다.
$$ \hat{\mu} = \text{median}(\mathbf{x}_{1}, \cdots, \mathbf{x}_{n}) $$
$$ \hat{b} = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| $$
증명
라플라스 분포:
$\mu \in \mathbb{R}$와 $b > 0$에 대해, 다음과 같은 확률밀도함수를 가지는 연속확률분포 $\operatorname{Laplace}(\mu, b)$를 라플라스 분포Laplace distribution라고 한다.
$$ f(x) = \dfrac{1}{2b} \exp \left( -\dfrac{|x - \mu|}{b} \right) $$
로그 우도를 구해보면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} \log L(\mu, b ; \mathbf{x}) &= \log f(\mathbf{x}; \mu, b) = \log \prod\limits_{k=1}^{n} f(x_{k}; \mu, b) \\ &= \sum\limits_{k=1}^{n} \log f(x_{k}; \mu, b) \\ &= \sum\limits_{k=1}^{n} \log \left( \dfrac{1}{2b} \exp \left( -\dfrac{|x_{k} - \mu|}{b} \right) \right) \\ &= -n \log 2b - \dfrac{1}{b} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| \end{align*} $$
따라서 $\argmax\limits_{\mu} \log L(\mu, b; \mathbf{x})$를 구해보면,
$$ \begin{align*} \argmax_{\mu} \left( -n \log 2b - \dfrac{1}{b} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| \right) &= \argmax_{\mu} \left( -\sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| \right) \\ &= \argmin_{\mu} \left( \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| \right) \\ \end{align*} $$
$$ \hat{\mu} = \text{median}(\mathbf{x}_{1}, \cdots, \mathbf{x}_{n}) $$
또한 $\argmax\limits_{b} \log L(\mu, b; \mathbf{x})$는 다음을 만족하는 $b$이다.
$$ \dfrac{\partial}{\partial b} \log L(\mu, b; \mathbf{x}) = 0 $$
$$ \implies -n\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{b^{2}} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| = 0 $$
$$ \implies b = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| $$
$$ \implies \hat{b} = \dfrac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} |x_{k} - \mu| $$
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