바이하모닉 함수
정의1
$\Delta = \nabla^{2}$를 라플라시안이라 하자. $\Delta ^{2}$를 바이하모닉 오퍼레이터biharmonic operator혹은 바이라플라시안bilaplasian이라 한다. 아래의 방정식을 바이하모닉 방정식biharmonic equation이라 한다.
$$ \Delta^{2} f = 0 $$
바이하모닉 방정식의 해를 바이하모닉 함수biharmonic functin라 한다.
설명
$\partial_{i} = \dfrac{\partial}{\partial x_{i}}$라고 하자. 데카르트 좌표계에서 $\Delta = \sum\limits_{i} \partial_{i}\partial_{i}$이므로,
$$ \Delta^{2} f = \sum\limits_{j} \sum\limits_{i} \partial_{j}\partial_{j} \partial_{i}\partial_{i} f $$
특히 3차원에서는,
$$ \begin{align*} \Delta^{2}g &= \sum\limits_{j=1}^{3} \partial_{j}\partial_{j} \left( \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\right) \\ &= \dfrac{\partial^{4} f}{\partial x^{4}} + \dfrac{\partial^{4} f}{\partial y^{4}} + \dfrac{\partial^{4} f}{\partial z^{4}} + 2\dfrac{\partial^{4} f}{\partial x^{2} \partial y^{2}} + 2\dfrac{\partial^{4} f}{\partial y^{2} \partial z^{2}} + 2\dfrac{\partial^{4} f}{\partial z^{2} \partial x^{2}} \\ \end{align*} $$