📂보조정리

sinx/x의 극한

공식

$$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 $$

증명

반지름이 $1$인 부채꼴 $OAB$가 주어졌다고 하자. 점 $B$에서 선분 $\overline{OA}$로 내린 수선의 발을 $H$라 하자. 그리고 선분 $\overline{OB}$와 $\overline{OA}$를 연장하여 만난 교점을 $C$라고 하자.

그러면 각 선분의 길이는 다음과 같다.

$$ \overline{OH} = \cos \theta, \qquad \overline{BH} = \sin \theta, \qquad \overline{AC} = \tan θ $$

삼각형 $OBH$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \times \overline{OH} \times \overline{BH} = \dfrac{1}{2} \cos\theta \sin\theta$이다. 부채꼴 $OAB$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \theta r^{1} = \dfrac{1}{2} \theta$이다. 또한 삼각형 $OAC$의 넓이는 $\dfrac{1}{2} \overline{OA} \times \overline{AC} = \dfrac{1}{2} \tan\theta$이다. 이 세 도형의 넓이 사이에는 다음과 같은 부등식이 성립한다.

$$ \dfrac{1}{2} \cos\theta \sin\theta \lt \dfrac{1}{2} \theta \lt \dfrac{1}{2} \tan\theta \implies \cos\theta \sin\theta \lt \theta \lt \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} $$

위 부등식에 역수를 취하면 다음을 얻는다.

$$ \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} \lt \dfrac{1}{\theta} \lt \dfrac{1}{\sin\theta \cos\theta} $$

$\theta$가 예각이므로, 각 항에 $\sin \theta$를 곱해도 부등호의 방향이 바뀌지 않는다.

$$ \cos\theta \lt \dfrac{\sin\theta}{\theta} \lt \dfrac{1}{\cos\theta} $$

여기에 $\theta \to 0$인 극한을 취하면, 샌드위치 정리에 의해 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} && \lim\limits_{\theta \to 0} \cos\theta \lt \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} \lt \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{1}{\cos\theta} \\ \implies && 1 \lt \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} \lt 1 \\ \implies && \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} = 1 \end{align*} $$

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