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sinx/x의 극한 📂보조정리

sinx/x의 극한

공식

lim⁡x→0sin⁡xx=1 \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1

증명

반지름이 11인 부채꼴 OABOAB가 주어졌다고 하자. 점 BB에서 선분 OA‾\overline{OA}로 내린 수선의 발을 HH라 하자. 그리고 선분 OB‾\overline{OB}와 OA‾\overline{OA}를 연장하여 만난 교점을 CC라고 하자.

그러면 각 선분의 길이는 다음과 같다.

OH‾=cos⁡θ,BH‾=sin⁡θ,AC‾=tan⁡θ \overline{OH} = \cos \theta, \qquad \overline{BH} = \sin \theta, \qquad \overline{AC} = \tan θ

삼각형 OBHOBH의 넓이는 12×OH‾×BH‾=12cos⁡θsin⁡θ\dfrac{1}{2} \times \overline{OH} \times \overline{BH} = \dfrac{1}{2} \cos\theta \sin\theta이다. 부채꼴 OABOAB의 넓이는 12θr1=12θ\dfrac{1}{2} \theta r^{1} = \dfrac{1}{2} \theta이다. 또한 삼각형 OACOAC의 넓이는 12OA‾×AC‾=12tan⁡θ\dfrac{1}{2} \overline{OA} \times \overline{AC} = \dfrac{1}{2} \tan\theta이다. 이 세 도형의 넓이 사이에는 다음과 같은 부등식이 성립한다.

12cos⁡θsin⁡θ<12θ<12tan⁡θ  ⟹  cos⁡θsin⁡θ<θ<sin⁡θcos⁡θ \dfrac{1}{2} \cos\theta \sin\theta \lt \dfrac{1}{2} \theta \lt \dfrac{1}{2} \tan\theta \implies \cos\theta \sin\theta \lt \theta \lt \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}

위 부등식에 역수를 취하면 다음을 얻는다.

cos⁡θsin⁡θ<1θ<1sin⁡θcos⁡θ \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} \lt \dfrac{1}{\theta} \lt \dfrac{1}{\sin\theta \cos\theta}

θ\theta가 예각이므로, 각 항에 sin⁡θ\sin \theta를 곱해도 부등호의 방향이 바뀌지 않는다.

cos⁡θ<sin⁡θθ<1cos⁡θ \cos\theta \lt \dfrac{\sin\theta}{\theta} \lt \dfrac{1}{\cos\theta}

여기에 θ→0\theta \to 0인 극한을 취하면, 샌드위치 정리에 의해 다음을 얻는다.

lim⁡θ→0cos⁡θ<lim⁡θ→0sin⁡θθ<lim⁡θ→01cos⁡θ  ⟹  1<lim⁡θ→0sin⁡θθ<1  ⟹  lim⁡θ→0sin⁡θθ=1 \begin{align*} && \lim\limits_{\theta \to 0} \cos\theta \lt \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} \lt \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{1}{\cos\theta} \\ \implies && 1 \lt \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} \lt 1 \\ \implies && \lim\limits_{\theta \to 0} \dfrac{\sin\theta}{\theta} = 1 \end{align*}

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