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벡터공간에서 직합이란 📂선형대수

벡터공간에서 직합이란

정의

벡터공간 VV 의 두 부분공간 W1W_{1}과 W2W_{2} 에 대해 다음을 만족하면 VV를 W1W_{1}과 W2W_{2} 의 직합direct sum이라 하고, V=W1⊕W2V = W_{1} \oplus W_{2}와 같이 표기한다.

(i) 존재성: 임의의 v∈V\mathbf{v} \in V 에 대해 v=v1+v2\mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} 을 만족하는 v1∈W1\mathbf{v}_{1} \in W_{1} 과 v2∈W2\mathbf{v}_{2} \in W_{2} 가 존재한다.

(ii) 배타성: W1∩W2={0}W_{1} \cap W_{2} = \left\{ \mathbf{0} \right\}

(iii) 유일성: 주어진 v\mathbf{v} 에 대해 v=v1+v2\mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} 을 만족하는 v1∈W1\mathbf{v}_{1} \in W_{1} 과 v2∈W2\mathbf{v}_{2} \in W_{2} 는 유일하다.

일반화1

W1,W2,…,WkW_{1}, W_{2}, \dots, W_{k}를 벡터공간 VV의 부분공간이라고 하자. 이 부분공간들이 다음의 조건을 만족할 때, VV를 W1,…,WkW_{1}, \dots, W_{k}들의 직합이라하고 V=W1⊕⋯⊕WkV = W_{1} \oplus \cdots \oplus W_{k}와 같이 표기한다.

  • V=∑i=1kWi\displaystyle V = \sum\limits_{i=1}^{k}W_{i}

  • Wj⋂∑i≠jWi={0} for each j(1≤j≤k)\displaystyle W_{j} \bigcap \sum\limits_{i \ne j}W_{i} = \left\{ \mathbf{0} \right\} \text{ for each } j(1\le j \le k)

이때 ∑i=1kWi\sum\limits_{i=1}^{k}W_{i}는 WiW_{i}들의 합이다.

설명

(i) 존재성: 이 조건은 V=W1+W2V = W_{1} + W_{2}, 다시말해 "VV가 W1W_{1}과 W2W_{2}의 합이다"로 바꿔적을 수 있다.

(iii) 유일성: 사실 이 조건은 없어도 된다. 조건 (ii) 에 의해 v1∈W1\mathbf{v}_{1} \in W_{1} 이면, ±v1∉W2\pm \mathbf{v}_{1} \notin W_{2}이고, WW의 영벡터 0\mathbf{0}에 대해서 오직 다음의 표현만 존재한다.

0=0+0,0∈W1,W2 \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0},\quad \mathbf{0}\in W_{1}, W_{2}

따라서 v\mathbf{v}에 대해서 두 표현 v1+v2\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}, v1′+v2′\mathbf{v}_{1}^{\prime} + \mathbf{v}_{2}^{\prime}가 존재한다면,

0=v−v=(v1−v1′)+(v2−v2′)=0+0  ⟹  v1=v1′, v2=v2′ \mathbf{0} = \mathbf{v} - \mathbf{v} = (\mathbf{v}_{1} - \mathbf{v}_{1}^{\prime}) + (\mathbf{v}_{2} - \mathbf{v}_{2}^{\prime}) = \mathbf{0} + \mathbf{0} \implies \mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{1}^{\prime},\ \mathbf{v}_{2}=\mathbf{v}_{2}^{\prime}

더 나아가 (i), (ii)   ⟺  \iff (iii) 가 성립한다.

정의만 봐서는 감을 잡기 어렵지만 유클리드 공간에서의 예시를 보면 상당히 상식적이고 편리한 개념임을 알 수 있을 것이다. 예를 들어 R3=R×R×R\mathbb{R}^{3} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} 을 생각해보면 R3\mathbb{R}^{3} 의 원소는 33차원 벡터 (x,y,z)(x,y,z) 인데, 이를 (x,y)(x,y) 와 (z)(z) 로 분리해보자.

한편 분리한 걸 다시 합치는 과정을 생각해보면 (x,y)∈R2(x,y) \in \mathbb{R}^2 이고 (z)∈R(z) \in \mathbb{R} 이므로 이들의 단순 합집합 R2∪R\mathbb{R}^2 \cup \mathbb{R} 은 스칼라와 22차원 벡터들을 원소로 가지게 된다. 이러한 기호들만으로는 실제로 우리가 하고 싶은 공간의 확장과 분리를 표현하기 어렵다는 것을 알 수 있다. 따라서 직합이라는 개념을 도입하면 부분공간들이 벡터공간을 잘 나눌 때 여러모로 설명하기가 수월해질 것이다.

같이보기

  1. Stephen H. Friedberg, Linear Algebra (4th Edition, 2002), p275 ↩︎