📂線形代数

ベクトル空間における直和

定義

ベクトル空間 $V$ の二つの 部分空間 $W_{1}$ と $W_{2}$ に対して次を満たすなら $V$ を $W_{1}$ と $W_{2}$ の 直和^{direct sum} と呼び、 $V = W_{1} \oplus W_{2}$ のように表記する。

(i) 存在性：任意の $\mathbf{v} \in V$ に対して $\mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}$ を満たす $\mathbf{v}_{1} \in W_{1}$ と $\mathbf{v}_{2} \in W_{2}$ が存在する。

(ii) 排他性：$W_{1} \cap W_{2} = \left\{ \mathbf{0} \right\}$

(iii) 一意性：与えられた $\mathbf{v}$ に対して $\mathbf{v} = \mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}$ を満たす $\mathbf{v}_{1} \in W_{1}$ と $\mathbf{v}_{2} \in W_{2}$ は一意である。

一般化¹

$W_{1}, W_{2}, \dots, W_{k}$ をベクトル空間 $V$ の部分空間とする．これらの部分空間が次の条件を満たすとき，$V$ を $W_{1}, \dots, W_{k}$ らの 直和 と呼び，$V = W_{1} \oplus \cdots \oplus W_{k}$ のように表記する。

• $\displaystyle V = \sum\limits_{i=1}^{k}W_{i}$

• $\displaystyle W_{j} \bigcap \sum\limits_{i \ne j}W_{i} = \left\{ \mathbf{0} \right\} \text{ for each } j(1\le j \le k)$

このとき $\sum\limits_{i=1}^{k}W_{i}$ は $W_{i}$ らの 和 である。

説明

(i) 存在性：この条件は $V = W_{1} + W_{2}$、言い換えれば「$V$ が $W_{1}$ と ▷eq03◯ の和 である」と書き換えられる。

(iii) 一意性：実はこの条件は無くても良い。条件 (ii) により $\mathbf{v}_{1} \in W_{1}$ ならば、$\pm \mathbf{v}_{1} \notin W_{2}$ であり、$W$ の零ベクトル $\mathbf{0}$ に関してはただ次の表現のみ存在する。

$$ \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{0},\quad \mathbf{0}\in W_{1}, W_{2} $$

したがって $\mathbf{v}$ に対して二つの表現 $\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}$、 $\mathbf{v}_{1}^{\prime} + \mathbf{v}_{2}^{\prime}$ が存在するなら、

$$ \mathbf{0} = \mathbf{v} - \mathbf{v} = (\mathbf{v}_{1} - \mathbf{v}_{1}^{\prime}) + (\mathbf{v}_{2} - \mathbf{v}_{2}^{\prime}) = \mathbf{0} + \mathbf{0} \implies \mathbf{v}_{1}=\mathbf{v}_{1}^{\prime},\ \mathbf{v}_{2}=\mathbf{v}_{2}^{\prime} $$

さらに (i), (ii) $\iff$ (iii) が成り立つ。

定義だけでは掴みづらいが，ユークリッド空間での例を見るとかなり直観的で便利な概念であると分かる。例えば $\mathbb{R}^{3} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ を考えると $\mathbb{R}^{3}$ の元は $3$ 次元ベクトル $(x,y,z)$ であり，これを $(x,y)$ と $(z)$ に分けてみる。

一方，分けたものを再び合わせる過程を考えると $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ であり $(z) \in \mathbb{R}$ なので，それらの単純な和集合 $\mathbb{R}^2 \cup \mathbb{R}$ は スカラー と $2$ 次元ベクトルを元に持つことになる。このような記号だけでは実際に行いたい空間の拡張と分離を表現するのは難しいことが分かる。したがって直和という概念を導入すれば，部分空間がベクトル空間をうまく分けるときにいろいろ説明がしやすくなるだろう。

構成

定義では与えられたベクトル空間を部分空間の和に分解する観点から直和を述べた。逆に，二つのベクトル空間の直和を用いて新しいベクトル空間を構成することもできる。二つの $\mathbb{F}–$ ベクトル空間 $V$，$W$ に対して直和 $V \oplus W$ 上の和とスカラー倍を次のように定義する。$v \in V$，$w \in W$，$\alpha \in \mathbb{F}$ に対して，

$$ (v_{1}, w_{1}) + (v_{2}, w_{2}) = (v_{1}+v_{2}, w_{1}+w_{2}) $$

$$ \alpha (v, w) = (\alpha v, \alpha w) $$

このように定義すれば，$V \oplus W$ はベクトル空間の公理を満たすので一つのベクトル空間になる。

関連項目

• 抽象代数学における直和
• ベクトル空間の和 $+$