미분다양체 위에서 미분가능한 실수값 함수들의 집합 📂기하학

미분다양체 위에서 미분가능한 실수값 함수들의 집합

정의¹

$M$을 미분다양체라고 하자. 점 $p \in M$에서 미분가능한 함수 $f : M \to \mathbb{R}$들의 집합을 $\mathcal{D}$라고 표기한다.

$$ \mathcal{D} := \left\{ \text{all real-valued functions on } M \text{ that are differentialable at } p \right\} $$

$M$ 위에서 미분가능한 함수 $f : M \to \mathbb{R}$들의 집합을 $\mathcal{D}(M)$이라 표기한다.

$$ \mathcal{D}(M) := \left\{ \text{all real-valued functions of class } C^{\infty} \text{ defined on } M \right\} $$

$\mathcal{D}(M)$에서의 합과 곱을 다음과 같이 점별^pointwise로 정의하면, $\mathcal{D}(M)$은 환이 된다.

$$ \begin{align*} (f + g)(p) &= f(p) + g(p) \\ (fg)(p) &= f(p)g(p) \end{align*} \qquad \forall f, g \in \mathcal{D}(M) $$

$f, g$의 공역이 $\mathbb{R}$이므로 $f(p) + g(p)$, $f(p)g(p)$는 실수의 합, 곱으로 잘 정의된다.