📂선형대수

이중 쌍대 공간

정의¹

$X$를 벡터공간이라고 하자. $X^{\ast\ast}$를 $X$의 쌍대공간인 $X^{\ast}$의 쌍대공간이라고 하자.

$$X^{\ast\ast} = (X^{\ast})^{\ast}$$

이를 $X$의 이중쌍대공간^{bidual space}이라 한다.

정리

$X$가 유한차원 벡터공간이면, $X$와 $X^{\ast\ast}$는 동형이다.

$$X \approx X^{\ast\ast}$$

설명

bidual, double dual, second dual 모두 같은 말이다.

위의 정리는 $X$가 유한차원일 때만 성립한다. 유한차원이 아니면 일반적으로는 성립하지않고, 만약 성립하면 $X$를 반사공간^{reflexive space}이라고 한다.

정리에서 중요한 점은 동형사상 $\psi : X \to X^{\ast\ast}$를 굉장히 자연스럽게 이끌어낼 수 있다는 것이다. 임의의 $x \in X$에 대해서, $\hat{x} : X^{\ast} \to \mathbb{R}$을 다음과 같이 정의하자.

$$\hat{x} (f) = f(x) \quad \forall f \in X^{\ast}$$

그러면 $\hat{x}$은 $X^{\ast}$ 위의 선형범함수가 된다. 이제 $\psi : X \to X^{\ast\ast}$를 다음과 같이 정의하자.

$$\psi (x) = \hat{x}\quad \forall x \in X$$

그러면 정리는 다음과 같이 기술된다.

$X$를 유한차원 벡터공긴이라고 하자. $\psi : X \to X^{\ast\ast}$를 $\psi (x) = \hat{x}$와 같이 정의하자. 그러면 $\psi$는 동형사상이다.

증명

• 선형성

  $x, y \in X$와 $k \in \mathbb{R}$라고 하자. 그러면 임의의 $f \in X^{\ast}$에 대해서,

  $$\begin{align*} \psi (kx + y)(f) = \widehat{kx + y}(f) &= f(kx + y) \\ &= kf(x) + f(y) \\ &= k\hat{x}(f) + \hat{y}(f) \\ &= k\psi (x)(f) + \psi (y)(f) \\ \end{align*}$$

  따라서

  $$\psi (kx + y) = k\hat{x} + \hat{y} = k\psi (x) + \psi (y)$$

• 일대일

  보조정리

  $X$를 유한차원 벡터공간, $x \in X$라고 하자. 만약 모든 $f\in X^{\ast}$에 대해서 $\hat{x}(f) = 0$이면, $x=0$이다.

  증명

  대우법으로 증명한다. $x \ne 0$이라고 가정하자. 그러면 $\hat{x}(f) \ne 0$인 $f$가 존재함을 보이면 된다. 순서기저 $\beta = \left\{ x_{1}=x, x_{2}, \dots, x_{n} \right\}$를 하나 택하자. 그러면 쌍대기저 $\beta^{\ast} = \left\{ f_{1}, \dots, f_{n} \right\}$에 대해서 $f_{1}(x_{1}) = 1 \ne 0$이다.

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  어떤 $x \in X$에 대해서 $X^{\ast}$ 위의 범함수 $\psi (x)$가 $\psi (x) = 0$이라고 하자. 그러면 모든 $f \in X^{\ast}$에 대해서 $\psi (x)(f) = \hat{x}(f) = 0$이다. 따라서 보조정리에 의해 $x=0$이다. $N(\psi) = \left\{ 0 \right\}$이므로 $\psi$는 일대일이다.

• 동형

  $X$가 유한차원이므로, $X^{\ast}$도 유한차원이고 둘의 차원은 같다. 마찬가지로 $X^{\ast}$와 $X^{\ast\ast}$의 차원도 같으므로,

  $$\dim (X) = \dim (X^{\ast}) = \dim (X^{\ast\ast})$$

  따라서 $\psi : X \to X^{\ast\ast}$가 일대일이면 전사이고, $\psi$는 동형사상이다.

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