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아핀 접속 📂기하학

아핀 접속

빌드업1

미분 다양체 위의 벡터 필드 V\mathbf{V}가 주어졌다고 하자. 다양체 위에서 정의된 함수는 벡터 필드를 통해서 미분할 수 있다. 그러면 자연스럽게 벡터 필드도 미분하고 싶은 생각이 든다. 그런데 R3\mathbb{R}^{3}에서의 벡터필드를 미분하는 센스로 접근하는 것은 미분기하의 관점에서 불가능함을 다음과 같이 알 수 있다.

  • 첫번째 경우

    S⊂R3S \subset \mathbb{R}^{3}를 곡면, c:I→Sc : I \to S를 SS 위에서 주어진 곡선이라고 하자. 그리고 V\mathbf{V}는 cc를 따르는 벡터 필드라고 하자. 그러면 V(t)\mathbf{V}(t)는 c(t)c(t) 위에서의 탄젠트 벡터가 된다.

    V(t)∈Tc(t)S \mathbf{V}(t) \in T_{c(t)}S

    그러면 다음과 같이 좌표 벡터로 나타낼 수 있다.

    V(t)=(V1(t),V2(t),V3(3)) \mathbf{V}(t) = \left( V_{1}(t), V_{2}(t), V_{3}(3) \right)

    따라서 이를 다음과 같이 벡터를 미분하는 것 처럼 미분하고 싶은 욕심이 마구 들 것이다.

    dVdt(t)=(V1′(t),V2′(t),V3′(3)) \dfrac{d \mathbf{V}}{d t}(t) = \left( V_{1}^{\prime}(t), V_{2}^{\prime}(t), V_{3}^{\prime}(3) \right)

    하지만 V\mathbf{V}의 도함수를 위와 같이 정의하면, 이는 일반적으로 탄젠트 벡터가 되지 않는다.

    dVdt(t)∉Tc(t)S \dfrac{d \mathbf{V}}{d t}(t) \notin T_{c(t)}S

    미분기하에서는 내재적인 성질을 갖는 대상들에 관심이 있는데, 위와 같은 정의로는 벡터 필드의 도함수가 내재적이지 않게 된다는 말이다. 그래서 위 벡터 필드를 다시 탄젠트 번들 TSTS로 프로젝션 시킨 것을 도함수로서 다루게 된다. Π:R3→TS\Pi : \mathbb{R}^{3} \to TS를 직교 사영orthogonal projection이라고 하자. 그러면 벡터 필드의 도함수를 다음과 같이 정의한다.

    DVdt(t):=Π∘dVdt(t) \dfrac{D \mathbf{V}}{d t}(t) := \Pi \circ \dfrac{d \mathbf{V}}{d t}(t)

    이를 공변 도함수covariant derivative라고 하며 내재적이다.

  • 두번째 경우

    다음과 같이 극한으로 정의한 함수의 미분을 생각해보자.

    dvdt(t)=lim⁡h→0V(t+h)−V(t)h \dfrac{d \mathbf{v}}{d t}(t) = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\mathbf{V}(t+h) - \mathbf{V}(t)}{h}

    하지만 V(t+h)∈Tc(t+h)S\mathbf{V}(t+h) \in T_{c(t+h)}S이고 V(t)∈Tc(t)S\mathbf{V}(t) \in T_{c(t)}S이므로, 분자의 두 항은 서로 다른 공간의 원소이다. 따라서 덧셈 연산이 불가능하다.

이러한 이유들로 벡터 필드의 미분은, 미분이라면 가져야할 형식적인 조건들을 만족하는 추상적인 개념으로 정의된다.

정의

X(M)\mathfrak{X}(M)2을 미분다양체 MM 위의 C∞C^{\infty} 벡터필드들의 집합이라고 하자.

X(M):={all vector fields of class C∞ on M} \mathfrak{X}(M) := \left\{ \text{all vector fields of class } C^{\infty} \text{ on } M \right\}

D(M)\mathcal{D}(M)을 MM 위에서 정의된 C∞C^{\infty} 함수들의 집합이라고 하자.

D(M):={all real-valued functions of class C∞ defined on M} \mathcal{D}(M) := \left\{ \text{all real-valued functions of class } C^{\infty} \text{ defined on } M \right\}

그러면 미분다양체 MM 위의 아핀 접속affine connection ∇\nabla이란

∇:X(M)×X(M)→X(M)(X,Y)↦∇XY \begin{align*} \nabla : \mathfrak{X}(M) \times \mathfrak{X}(M)& \to \mathfrak{X}(M) \\ (X, Y) &\mapsto \nabla_{X}Y \end{align*}

와 같은 매핑으로, 다음의 성질들을 만족하는 것이라고 정의한다.

  1. ∇fX+gYZ=f∇XZ+g∇YZ\nabla_{fX + gY} Z = f \nabla _{X}Z + g\nabla_{Y}Z
  2. ∇X(Y+Z)=∇XY+∇XZ\nabla_{X}(Y + Z) = \nabla_{X}Y + \nabla_{X}Z
  3. ∇X(fX)=f∇XY+X(f)Y\nabla_{X}(fX) = f\nabla_{X}Y + X(f) Y

설명

∇XY\nabla_{X}Y에서 XX는 미분할 변수, YY는 미분당하는 함수를 의미한다. 따라서 1. ~ 3.은 각각 다음과 같은 미분의 성질을 나타낸다.

1.　(a∂∂x+b∂∂y)f=a∂f∂x+b∂f∂y\left( a\dfrac{\partial }{\partial x} + b\dfrac{\partial }{\partial y} \right)f = a\dfrac{\partial f}{\partial x} + b\dfrac{\partial f}{\partial y}

2.　∂∂x(f+g)=∂f∂x+∂g∂x\dfrac{\partial }{\partial x}(f+ g) = \dfrac{\partial f}{\partial x} + \dfrac{\partial g}{\partial x}

3.　∂∂x(fg)=∂f∂xg+f∂g∂x\dfrac{\partial }{\partial x}(fg) = \dfrac{\partial f}{\partial x}g + f\dfrac{\partial g}{\partial x}

따라서 ∇X\nabla_{X}는 ∂∂x\dfrac{\partial}{\partial x}, YY는 ff와 같은 식으로 이해하면 된다.

정리

(∇XY)(p)(\nabla_{X}Y)(p)는 오직 X(p)X(p)와 Y(γ(t))Y(\gamma (t))에만 의존한다. 이때 γ\gamma는

γ:(−ϵ,ϵ)→Mγ(0)=pγ′(0)=X(p) \gamma : (-\epsilon, \epsilon) \to M \\ \gamma (0) = p \\ \gamma^{\prime}(0) = X(p)

를 만족하는 곡선이다.

증명

좌표 x:U→M\mathbf{x} : U \to M을 하나 선택하자. 그리고 X,YX, Y를 벡터필드라고 하자.

X=∑iXi∂∂xi,Y=∑jYj∂∂xj X = \sum_{i} X_{i} \dfrac{\partial }{\partial x_{i}},\quad Y = \sum_{j} Y_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}}

그러면 ∇\nabla의 성질에 의해,

∇XY=∇∑iXi∂∂xi∑jYj∂∂xj=∑i,j∇Xi∂∂xiYj∂∂xjby 1. and 2.=∑i,jXi∇∂∂xiYj∂∂xjby 1.=∑i,jXi(∂Yj∂xi∂∂xj+Yj∇∂∂xi∂∂xj)by 3. \begin{align*} \nabla_{X}Y =& \nabla_{\sum_{i} X_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\sum_{j}Y_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \\ =& \sum_{i,j} \nabla_{X_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}}Y_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} &\text{by 1. and 2.}\\ =& \sum_{i,j} X_{i}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}Y_{j}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} &\text{by 1.} \\ =& \sum_{i,j} X_{i} \left( \dfrac{\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + Y_{j}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) &\text{by 3.} \end{align*}

이때 ∇∂∂xj∂∂xj\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}}는 벡터필드와 무관하게, 오로지 좌표의 선택에만 의존하는 값이라는 것을 알 수 있다. 아핀 접속의 정의에 따라서 이도 벡터필드이므로, 계수를 Γijk\Gamma_{ij}^{k}라고하면, 다음과 같이 쓸 수 있다.

∇∂∂xi∂∂xj=∑kΓijk∂∂xk \nabla_{\frac{\partial }{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} = \sum_{k} \Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}}

이를 대입하면

∇XY=∑i,jXi(∂Yj∂xi∂∂xj+Yj∇∂∂xi∂∂xj)=∑i,jXi(∂Yj∂xi∂∂xj+Yj∑kΓijk∂∂xk)=∑i,jXi∂Yj∂xi∂∂xj+∑i,j,kXiYjΓijk∂∂xk \begin{align*} \nabla_{X}Y =& \sum_{i,j} X_{i} \left( \dfrac{\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + Y_{j}\nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} \right) \\ =& \sum_{i,j} X_{i} \left( \dfrac{\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + Y_{j}\sum_{k} \Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \right) \\ =& \sum_{i,j} X_{i} \dfrac{\partial Y_{j}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{j}} + \sum_{i,j,k} X_{i}Y_{j}\Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \end{align*}

여기서 i,j,ki,j,k는 더미 인덱스이므로 앞 항의 jj를 kk로 바꿔주자. 그러면,

∇XY=∑i,kXi∂Yk∂xi∂∂xk+∑i,j,kXiYjΓijk∂∂xk=∑i,kXi(∂Yk∂xi+∑jYjΓijk)∂∂xk \begin{align*} \nabla_{X}Y =& \sum_{i,k} X_{i} \dfrac{\partial Y_{k}}{\partial x_{i}}\dfrac{\partial }{\partial x_{k}} + \sum_{i,j,k} X_{i}Y_{j}\Gamma_{ij}^{k} \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ =& \sum_{i,k} X_{i} \left( \dfrac{\partial Y_{k}}{\partial x_{i}} + \sum_{j} Y_{j}\Gamma_{ij}^{k}\right) \dfrac{\partial }{\partial x_{k}} \\ \end{align*}

여기서 Γijk,∂∂xk\Gamma_{ij}^{k}, \dfrac{\partial }{\partial x_{k}}는 주어진 좌표로 결정된다. ∂Yk∂xi\dfrac{\partial Y_{k}}{\partial x_{i}}도 YkY_{k}가 정해지면마찬가지로 좌표가 있으면 결정된다. 따라서 위 식은 오로지 X(p),Y(γ(t))X(p), Y(\gamma (t))의 값에만 의존하는 것을 알 수 있다.

■

  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p48-51 ↩︎

  2. 프락투어체 X이다. \mathfrak{X} ↩︎