미분다양체 위의 탄젠트 번들
📂기하학미분다양체 위의 탄젠트 번들
정의
M을 n차원 미분다양체라고 하자. 점 p∈M에서의 탄젠트공간을 TpM이라 하자. M의 탄젠트 번들tangent bundle, 접다발 TM을 다음과 같이 정의한다.
TM:=p∈M⨆TpM=p∈M⋃{p}×TpM={(p,v):p∈M,v∈TpM}
이때 ⨆은 분리합집합이다.
설명
정의에 의해 탄젠트 번들은 미분다양체 M 위의 모든 점과 그 점에서의 모든 탄젠트 벡터들의 순서쌍들의 집합이다. 분리합집합 문서를 참고해보면 알겠지만, (p,v)과 v사이의 자연스러운 매핑을 생각할 수 있어 이 둘을 사실상 같은 것으로 취급하기에 ⨆ 대신 ⋃으로 나타내기도 한다.
TM:=p∈M⋃TpM
M이 n차원 미분다양체이면, TM은 그 자체로 다시 2n차원 미분다양체가 된다.