logo

미분다양체 위의 탄젠트 번들 📂기하학

미분다양체 위의 탄젠트 번들

정의1

MMnn차원 미분다양체라고 하자. 점 pMp \in M에서의 탄젠트공간TpMT_{p}M이라 하자. MM탄젠트 번들tangent bundle, 접다발 TMTM을 다음과 같이 정의한다.

TM:=pMTpM=pM{p}×TpM={(p,v):pM,vTpM} \begin{align*} TM &:= \bigsqcup \limits_{p \in M } T_{p}M \\ &= \bigcup_{p \in M} \left\{ p \right\} \times T_{p}M \\ &= \left\{ (p, v) : p \in M, v \in T_{p}M \right\} \end{align*}

이때 \bigsqcup분리합집합이다.

설명

정의에 의해 탄젠트 번들은 미분다양체 MM 위의 모든 점과 그 점에서의 모든 탄젠트 벡터들의 순서쌍들의 집합이다. 분리합집합 문서를 참고해보면 알겠지만, (p,v)(p,v)vv사이의 자연스러운 매핑을 생각할 수 있어 이 둘을 사실상 같은 것으로 취급하기에 \bigsqcup 대신 \bigcup으로 나타내기도 한다.

TM:=pMTpM TM := \bigcup_{p \in M} T_{p}M

MMnn차원 미분다양체이면, TMTM은 그 자체로 다시 2n2n차원 미분다양체가 된다.


  1. Manfredo P. Do Carmo, Riemannian Geometry (Eng Edition, 1992), p15-16 ↩︎