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양자역학에서 각운동량 연산자 📂양자역학

양자역학에서 각운동량 연산자

빌드업

각운동량 연산자는 각운동량의 고전적 정의에서부터 자연스럽게 유도된다.

l=r×p(1) \mathbf{l} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} \tag{1}

여기서 r=(x,y,z)\mathbf{r} = (x, y, z), p=(px,py,pz)\mathbf{p} = (p_{x}, p_{y}, p_{z})라고 두면 각운동량 l=(lx,ly,lz)\mathbf{l} = (l_{x}, l_{y}, l_{z})의 각 성분은 다움과 같다.

lx=ypz−zpy,ly=zpx−xpz,lz=xpy−ypx l_{x} = yp_{z} - zp_{y},\quad l_{y} = zp_{x} - xp_{z},\quad l_{z} = xp_{y} - yp_{x}

위의 식에 따라 각운동량 연산자를 위치 연산자 XX와 운동량 연산자 PP로 자연스럽게 정의할 수 있다.

정의

파동함수의 각운동량 연산자angular momentum operator L=(Lx,Ly,Lz)L = (L_{x}, L_{y}, L_{z})를 다음과 같이 정의한다.

Lx:=YPz−ZPyLy:=ZPx−XPzLz:=XPy−YPx \begin{align*} L_{x} := YP_{z} - ZP_{y} \\ L_{y} := ZP_{x} - XP_{z} \\ L_{z} := XP_{y} - YP_{x} \end{align*}

설명

운동량 연산자가 구체적으로 Pj=−iℏ∂∂xjP_{j} = -\i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x_{j}}이므로 각운동량 연산자는 다음과 같다.

L=−iℏr×∇,r=(X,Y,Z) L = -\i\hbar \mathbf{r} \times \nabla,\qquad \mathbf{r} = (X, Y, Z)

이때 ∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)\nabla = \left( \dfrac{\partial }{\partial x}, \dfrac{\partial }{\partial y}, \dfrac{\partial }{\partial z} \right)는 델 연산자이다. 3차원에서 운동량 연산자가 −iℏ∇-\i\hbar \nabla이므로 각운동량의 고전적 정의가 자연스럽게 연산자로 확장되었다.

구 좌표계

각운동량 연산자는 구 좌표계로 다음과 같이 표현된다.

Lx=iℏ(sin⁡ϕ∂∂θ+cos⁡ϕcot⁡θ∂∂ϕ)Ly=−iℏ(cos⁡ϕ∂∂θ−sin⁡ϕcot⁡θ∂∂ϕ)Lz=−iℏ∂∂ϕ \begin{align*} L_{x} &= \i\hbar \left(\sin\phi\dfrac{\partial }{\partial \theta} + \cos\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ L_{y} &= -\i\hbar \left( \cos\phi \dfrac{\partial }{\partial \theta} - \sin\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ L_{z} &= -\i\hbar \dfrac{\partial }{\partial \phi} \end{align*}

사다리 연산자

각운동량의 사다리 연산자는 다음과 같다.

L+:=Lx+iLyL−:=Lx−iLy L_{+} := L_{x} + \i L_{y} \\ L_{-} := L_{x} - \i L_{y}