양자역학에서 각운동량 연산자
도입
각운동량 연산자는 각운동량의 고전적 정의에서부터 자연스럽게 유도된다.
$$ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} \tag{1} $$
여기서 $\mathbf{r} = (x, y, z)$, $\mathbf{p} = (p_{x}, p_{y}, p_{z})$라고 두면 각운동량 $\mathbf{L} = (l_{x}, l_{y}, l_{z})$의 각 성분은 다움과 같다.
$$ L_{x} = yp_{z} - zp_{y},\quad L_{y} = zp_{x} - xp_{z},\quad L_{z} = xp_{y} - yp_{x} $$
위의 식에 따라 각운동량 연산자를 위치 연산자 $X$와 운동량 연산자 $P$로 자연스럽게 정의할 수 있다.
정의
파동함수의 각운동량 연산자angular momentum operator $\hat{\mathbf{L}} = (\hat{L}_{x}, \hat{L}_{y}, \hat{L}_{z})$를 다음과 같이 정의한다.
$$ \begin{align*} \hat{L}_{x} := \hat{y}\hat{p}_{z} - \hat{z}\hat{p}_{y} \\ \hat{L}_{y} := \hat{z}\hat{p}_{x} - \hat{x}\hat{p}_{z} \\ \hat{L}_{z} := \hat{x}\hat{p}_{y} - \hat{y}\hat{p}_{x} \end{align*} $$
설명
운동량 연산자가 구체적으로 $\hat{p}_{j} = -\i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x_{j}}$이므로 각운동량 연산자는 다음과 같다.
$$ \hat{\mathbf{L}} = -\i\hbar \mathbf{r} \times \nabla,\qquad \mathbf{r} = (\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}) $$
이때 $\nabla = \left( \dfrac{\partial }{\partial x}, \dfrac{\partial }{\partial y}, \dfrac{\partial }{\partial z} \right)$는 델 연산자이다. 3차원에서 운동량 연산자가 $-\i\hbar \nabla$이므로 각운동량의 고전적 정의가 자연스럽게 연산자로 확장되었다.
구 좌표계
각운동량 연산자는 구 좌표계로 다음과 같이 표현된다.
$$ \begin{align*} \hat{L}_{x} &= \i\hbar \left(\sin\phi\dfrac{\partial }{\partial \theta} + \cos\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ \hat{L}_{y} &= -\i\hbar \left( \cos\phi \dfrac{\partial }{\partial \theta} - \sin\phi \cot\theta \dfrac{\partial }{\partial \phi}\right) \\ \hat{L}_{z} &= -\i\hbar \dfrac{\partial }{\partial \phi} \end{align*} $$
사다리 연산자
$$ L_{+} := L_{x} + \i L_{y} \\ L_{-} := L_{x} - \i L_{y} $$