📂기하학

곡선을 따라서 평행한 벡터필드의 성질

성질

$\mathbf{X}(t)$와 $\mathbf{Y}(t)$를 곡면 $M$ 위의 정칙 곡선 $\alpha (t)$를 따라 평행한 벡터필드라고 하자. 그러면 $\mathbf{X}$의 크기 $\left\| \mathbf{X}(t) \right\|$와 $\mathbf{X}(t), \mathbf{Y}(t)$사이의 각도는 상수이다.

설명

다시 말해 각도와 크기가 보존된다.

증명

$f(t) = \left\langle \mathbf{X}(t), \mathbf{Y}(t) \right\rangle$라고 하자. $f$를 미분해보면, 내적의 미분법에 의해, 다음과 같다.

$$\dfrac{d f}{d t} = \left\langle \dfrac{d \mathbf{X}}{d t}, \mathbf{Y} \right\rangle + \left\langle \mathbf{X}, \dfrac{d \mathbf{Y}}{d t} \right\rangle = 0 + 0 = 0$$

이때 $\mathbf{X}(t), \mathbf{Y}(t)$는 $M$의 탄젠트 벡터이고, $\dfrac{d \mathbf{X}}{d t}(t), \dfrac{d \mathbf{Y}}{d t}(t)$는 정의에 의해 탄젠트 벡터와 직교하므로 내적은 $0$이다. 따라서 $f(t)$는 상수이다. $\mathbf{Y}=\mathbf{X}$로 두면 $\left\| \mathbf{X}(t) \right\|$가 상수라는 결과를 얻는다.

이제 $\mathbf{X}(t)$와 $\mathbf{Y}(t)$ 사이의 각도를 $\theta$라고 하면 다음을 얻는다.

$$\dfrac{f(t)}{\left\| \mathbf{X} (t) \right\| \left\| \mathbf{Y}(t) \right\|} = \cos \theta$$

이때 $f(t), \left\| \mathbf{X} (t) \right\|, \left\| \mathbf{Y}(t) \right\|$ 모두 상수이므로 $\cos \theta$도 상수이다. 따라서 둘 사이의 각도는 상수이다.

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