📂기하학

미분 다양체 위의 탄젠트 벡터, 탄젠트 공간

빌드업¹

미분 다양체 $M$ 위의 각 점에서 탄젠트 벡터를 정의하려한다. 미분가능한 곡선 $\alpha : (-\epsilon , \epsilon) \to M$이 주어졌다고 하자. 이제 미분기하학에서처럼 $\alpha$의 $t=0$에서의 미분계수 $\dfrac{d \alpha}{dt}(0)$를 탄젠트 벡터라고 정의하고 싶지만, $\alpha$의 치역이 $M$이므로(거리공간임이 보장되지 않으므로) $\alpha$의 도함수를 말할 수 없다. 이 때문에 다양체 위의 탄젠트 벡터를 함수, 그러니까 오퍼레이터로써 정의하게 된다. 미분기하학을 공부했다면 벡터를 오퍼레이터와 같이 다루는 것이 익숙할 것이다. 다음의 설명을 보자.

방향 도함수

$\mathbf{X} \in T_{p}M$를 곡면 $M$의 점 $p$에서의 탄젠트 벡터, $\alpha (t)$를 $M$ 위의 곡선이라고 하자. 이때 $\alpha : (-\epsilon, \epsilon) \to M$이고 $\alpha (0) = p$를 만족한다. 다시말해 $\mathbf{X} = \dfrac{d \alpha}{d t} (0)$이다. 이제 함수 $f$를 곡면 $M$위의 점 $p \in M$의 어떤 근방에서 정의된 미분가능한 함수라고 하자. 그러면 $\mathbf{X}$ 방향으로의 $f$의 방향 도함수^{directional derivative} $\mathbf{X}f$를 다음과 같이 정의한다.

$$ \mathbf{X} : \mathcal{D} \to \mathbb{R}, \quad \text{where } \mathcal{D} \text{ is set of all differentiable functions near } p $$

$$ \mathbf{X} f := \dfrac{d}{dt_{}} (f \circ \alpha) (0) $$

위의 정의에서 보이듯이, 고정된 탄젠트 벡터 $\mathbf{X}$가 있으면 $f$가 주어질 때 마다 $\mathbf{X}f$가 결정된다. 따라서 탄젠트 벡터는 그 자체가 오퍼레이터로써 취급된다. $\mathbf{X}f$와 같은 표기도 오퍼레이터의 관점에서 보기 때문에 쓰이는 것이다. 미분 다양체 위의 탄젠트 벡터도 이와 같이 $M$ 위에서 미분 가능한 함수 $f$가 주어질 때 마다, $f$와 어떤 곡선 $\alpha$와의 합성을 통해 실수 공간을 매핑하는 함수로써 정의된다.

정의

$M$을 $n$차원 미분 다양체라고 하자. 미분가능한 함수 $\alpha : (-\epsilon , \epsilon) \to M$를 $M$에서 미분가능한 곡선이라고 하자. $\alpha (0)=p\in M$라고 가정하자. 그리고 집합 $\mathcal{D}$를 다음과 같이 $p$에서 미분가능한 함수들의 집합으로 정의하자.

$$ \mathcal{D} := \left\{ f : M \to \mathbb{R} | \text{functions on } M \text{that are differentiable at } p \right\} $$

그러면 $\alpha (0) = p$에서의 탄젠트 벡터 $\alpha^{\prime}(0) : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$을 다음과 같은 함수로 정의한다.

$$ \alpha^{\prime} (0) f = \dfrac{d}{dt} (f\circ \alpha)(0),\quad f\in \mathcal{D} $$

점 $p\in M$에서의 모든 탄젠트 벡터들의 집합을 탄젠트 공간^{tangent space}라고 하고 $T_{p}M$와 같이 나타낸다.

설명

$f : M \to \mathbb{R}$과 $\alpha : (-\epsilon, \epsilon) \to M$은 각각 정의역과 공역이 거리공간임이 보장되지 않기 때문에 클래식한 센스에서 미분할 수 없지만, 이들의 합성인 $f \circ \alpha : (-\epsilon, \epsilon) \to \mathbb{R}$은 미분할 수 있다.

어떤 미분가능한 곡선 $\alpha$가 주어질 때 마다 탄젠트 벡터가 결정되므로, 미분가능한 곡선만큼 탄젠트 벡터가 존재한다고 생각할 수 있다. 또한 두 탄젠트 벡터 $\mathbf{X}, \mathbf{Y}$가 서로 다른 두 곡선 $\alpha$, $\beta$에 의해 결정되었다고 하더라도, 모든 $f \in \mathcal{D}$에 대해서 $\mathbf{X}f = \mathbf{Y}f$가 성립하면 $\mathbf{X}$와 $\mathbf{Y}$를 같은 탄젠트 벡터로 취급한다.

탄젠트 벡터들의 집합 $T_{p}M$을 탄젠트 공간이라고 부르는 이유는 이것이 실제로 $n$차원 벡터공간이기 때문이다.

아래에서 소개할 정리로부터 점 $p$에서의 탄젠트 벡터의 함숫값 $\alpha^{\prime}(0)f$는 $p$에 관한 임의의 좌표계 $\mathbf{x} : U \to M$을 하나 선택하면 이에 대해서 나타낼 수 있고, 이 값은 $\mathbf{x}$의 선택에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있다.

예시

$T_{p}\mathbb{R}^{3}$를 생각해보자. 어떤 미분가능한 곡선 $\alpha : (-\epsilon, \epsilon) \to \mathbb{R}^{3}$이 결정되면, 3차원 벡터 $\alpha^{\prime}(0) = \mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}, v_{3}) \in \mathbb{R}^{3}$가 결정된다. 그러면 정의에 따라 탄젠트 벡터는 다음과 같다. $f : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}$에 대해서,

$$ \mathbf{X}f = \dfrac{d (f\circ \alpha)}{d t}(0) = \sum \limits_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\dfrac{d \alpha_{i}}{d t}(0) = \sum\limits_{i} v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial x_{i}} $$

이는 유클리드 공간에서 방향 도함수와 같다.

$$ \mathbf{v}[f] = \nabla _{\mathbf{v}}f = \mathbf{v} \cdot \nabla f = \sum \limits_{i} v_{i} \dfrac{\partial f}{\partial v_{i}} $$

방향 도함수는 벡터를 오퍼레이터로 취급한 것으로써 벡터와 사실상 같다. 따라서 $\mathbf{X}$는 $\mathbb{R}^{3}$의 원소로 취급할 수 있고, 다음이 성립한다.

$$ T_{p}\mathbb{R}^{3} \approxeq \mathbb{R}^{3} $$

정리

$\alpha (0) = p$인 미분가능한 곡선과 점 $p$에서의 좌표계 $\mathbf{x} : U \to M$이 주어졌다고 하자. $(u_{1}, \dots, u_{n})$는 $\mathbb{R}^{n}$의 좌표이고,

$$ (x_{1}(p), \dots, x_{n}(p)) = \mathbf{x}^{-1}(p) $$

라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} \alpha ^{\prime} (0) f =&\ \sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}^{\prime}(p) \left.\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}}\right|_{p} \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}^{\prime}(\alpha (0)) \left.\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\right|_{t=0} \end{align*} $$

이때 간단히 $x_{i}^{\prime}(0) = x_{i}^{\prime}(\alpha (0))$라고 표기한다. 따라서 $\alpha^{\prime}(0)$는 다음과 같은 미분 연산자이다.

$$ \begin{equation} \alpha ^{\prime} (0) = \sum \limits_{i=1}^{n}x_{i}^{\prime}(0) \left.\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{t=0} \end{equation} $$

기저 $\left\{ \left.\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{t=0} \right\}$에 대해서 좌표벡터로 표기하면 다음과 같다.

$$ \alpha ^{\prime} (0) = \begin{bmatrix} x_{1}^{\prime}(0) \\ \vdots \\ x_{n}^{\prime}(0) \end{bmatrix} $$

증명

$p = \mathbf{x}(0)$이 되도록 하는 $M$의 좌표계 $\mathbf{x} : U \subset \mathbb{R}^{n} \to M$를 하나 택하자. 탄젠트 벡터를 좌표계로 표현할 수 있도록 $f\circ \alpha = f \circ \mathbf{x} \circ \mathbf{x}^{-1} \circ \alpha$와 같이 생각하자. 그러면 $\mathbf{x} \circ \mathbf{x}^{-1} = I$는 항등함수이므로 어떤 좌표계를 선택해도 무관함을 알 수 있다. 이제 $f \circ \mathbf{x}$와 $\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha$를 각각 통째로 하나의 함수라고 생각하고, $f \circ \alpha$를 이 둘의 합성 함수라고 생각하자.

$$ f \circ \alpha = (f \circ \mathbf{x}) \circ (\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha) $$

우선 $f \circ \mathbf{x}$를 생각해보자. $f \circ \mathbf{x} : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$이므로 다음과 같이 표현되고, 클래식한 센스에서 미분을 할 수 있다.

$$ f \circ \mathbf{x} = f \circ \mathbf{x} (u) = f \circ \mathbf{x} (u_{1}, u_{2}, \dots, u_{n}),\quad u=(u_{1},\dots,u_{n}) \in \mathbb{R}^{n} $$

$\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha$ 역시도 $\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^{n}$이므로 다음과 같이 표현되며 클래식한 센스에서 미분을 할 수 있다.

$$ \begin{align*} \mathbf{x}^{-1} \circ \alpha (t) =&\ (x_{1}(\alpha (t)), x_{2}(\alpha (t)), \dots, x_{n}(\alpha (t))) \\ =&\ (x_{1}(t), x_{2}(t), \dots, x_{n}(t)) \end{align*} $$

이때 $x_{i}$는 $x_{i} : M \to \mathbb{R}$인 함수이며, $x_{i}(t)$는 $x_{i}(\alpha (t))$를 간단히 표기한 것임에 주의하라.

위와 같이 생각하면 $f \circ \alpha$는 두 함수의 합성으로, $\mathbb{R} \overset{\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha}{\longrightarrow} \mathbb{R}^{n} \overset{f\circ \mathbf{x}}{\longrightarrow} \mathbb{R}$와 같이 매핑된다. 따라서 연쇄법칙에 의해 다음이 성립한다.

$$ \dfrac{d}{d t}(f \circ \alpha) = \dfrac{d}{dt} \left( (f\circ \mathbf{x}) \circ (\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha) \right) = \sum \limits_{i=1}^{n}\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \dfrac{d (\mathbf{x}^{-1} \circ \alpha )_{i}}{d t} = \sum \limits_{i=1}^{n}\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}} \dfrac{d x_{i}}{d t} $$

따라서 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \alpha^{\prime}(0) f :=&\ \dfrac{d}{dt} (f\circ \alpha)(0) \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{n} \left.\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}}\right|_{t=0} \dfrac{d x_{i}}{d t}(0) \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{n} \left.\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}}\right|_{t=0} x_{i}^{\prime}(0) \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}(0) \left.\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}}\right|_{t=0} \end{align*} $$

여기서 $\left.\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{t=0}$을 다음과 같은 오퍼레이터로 정의하자.

$$ \left.\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{t=0} f := \left.\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}}\right|_{t=0} $$

$\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}$의 의미를 정리하면 다음과 같다.

$f$는 정의역이 $M$이라 미분할 수 없다. 따라서 좌표계 $\mathbf{x} : \mathbb{R}^{n} \to M$과의 합성을 통해 $f\circ \mathbf{x}$를 생각한다. 이는 $\mathbb{R}^{n}$을 $\mathbb{R}$로 매핑하므로 클래식한 센스에서 미분을 할 수 있다. 따라서 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}$는 $f$를 $\mathbf{x}$와 합성한 후 이를 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{n}$의 $i$번째 변수 $u_{i}$에 대해서 미분한 것이라고 정의한다.

이제 최종으로 다음을 얻는다.

$$ \begin{align*} \alpha^{\prime}(0) f =&\ \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}(0) \left.\dfrac{\partial (f\circ \mathbf{x})}{\partial u_{i}}\right|_{t=0} \\ =&\ \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}(0) \left.\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{t=0}f = \ \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}(0) \left.\dfrac{\partial f}{\partial x_{i}}\right|_{t=0} \end{align*} $$

$$ \implies \alpha^{\prime}(0) = \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}(0) \left.\dfrac{\partial }{\partial x_{i}}\right|_{t=0} $$

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같이보기

• 해석학에서 방향 도함수
• 미분기하학에서 방향 도함수