📂복소해석

유수 정리 증명

정리 ¹

해석적인 함수 $f: A \subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 단순폐경로 $\mathscr{C}$ 내부의 유한한 특이점 $z_{1} , z_{2} , \cdots , z_{m}$ 들을 가진다고 하자. 그러면 $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 2 \pi i \sum_{k=1}^{m} \text{Res}_{z_{k}} f(z) $$

설명

처음 읽어보면 아리송하기짝이 없는 정리다. 적분 값을 구해야하는데 미적분학스러운 계산은 없고 웬 특이점과 유수 이야기를 하고 있으니 그럴만도 하다. 정리만 보자면 유수를 구해서 더하는 것만으로 적분값을 찾을 수 있다는 뜻인 것 같은데, 과연 그렇게 될까? 상식적으로 그렇게 쉽고 편리한 정리가 있을까? 답은 ‘있다’ 고, 바로 유수 정리가 그런 정리다.

적분 계산을 다른 계산으로 바꿔주는 것만으로도 할 수 없었던 수많은 적분들이 가능해진다. 실수에서 할 수 없었던 몇몇 적분도 유수 정리를 응용하면 비교적 쉽게 풀려버린다. 복소해석에서 중요한 정리가 정말 많지만 그 중에서도 특히 유용한 결과를 많이 주기 때문에 꼭 알아두어야한다.

증명

우선 $\mathscr{C}$ 를 $m$ 개로 쪼개서 생각해보자.

분할에 대해 일반화된 수축 보조정리: 단순폐경로 $\mathscr{C}$ 를 포함하는 단순연결영역에서 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ 가 $\mathscr{C}$ 내부에서 유한한 점 $z_{1} , z_{2}, \cdots z_{m}$ 을 제외한 모든 점에서 해석적이라고 하자. 그러면 $\mathscr{C}$ 내부에서 $z_{k}$ 를 중심으로 하는 원 $\mathscr{C_k}$ 에 대해, $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \sum_{k=1}^{m} \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) dz $$

각 $\mathscr{C}_{k}$ 에서 $f(z)$ 를 로랑 전개하면 $$ \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C}_{k}} \sum_{n = 0 }^{\infty} a_{nk} (z-z_{k}) ^{n} dz + \int_{\mathscr{C}_{k}} \sum_{n = 1 }^{\infty} { {b_{nk} } \over{ (z-z_{k}) ^{n} } } dz $$ 코시 정리에 의해 $$ \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C}_{k}} \sum_{n = 1 }^{\infty} { {b_{nk} } \over{ (z-z_{k}) ^{n} } } dz $$ 한편 코시 적분 공식에 의해 $\int_{\mathscr{C}_{k}} {{1} \over {(z - z_{k})^n}} dz = \begin{cases} 2 \pi i & n = 1 \\ 0 & n \ge 2 \end{cases}$ 이므로 $$ \int_{\mathscr{C}_{k}} f(z) dz = 2 \pi i b_{1k} = 2 \pi i \text{Res}_{z_{k}} f(z) $$ 따라서 $$ \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 2 \pi i \sum_{k=1}^{m} \text{Res}_{z_{k}} f(z) $$

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주의사항

증명에서 특히 눈여겨볼 점은 $n=1$ 일 때 $\displaystyle {{1} \over {z - z_{k}}}$ 계수, 즉 유수 $b_1k$ 를 제외하곤 모두 $0$ 이 되어 사라진다는 사실이다. 유수 정리가 너무 유용한 나머지 응용만 공부하다보면 어느새 왜 그런 결과가 나오는지 조차도 생각나지 않을 때가 있다. 그럴때 코시 적분 공식과 로랑 전개의 모양을 떠올릴 수 있다면 충분히 밀도 있는 공부를 했노라고 말할 수 있을 것이다.