양자역학에서 고유값 방정식의 의미
정의
행렬
$n\times n$ 행렬 $A$가 주어졌다고 하자. 아래의 식을 만족하는 $a$를 고유값eigenvalue, 영벡터가 아닌 $n\times 1$ 벡터 $\mathbf{x}$를 $a$에 대응되는 고유벡터eigen vector라고 한다.
$$ A \mathbf{x} = a \mathbf{x} \tag{1} $$
연산자
연산자 $A$가 주어졌다고 하자. 아래의 식을 만족하는 $a$를 고유값,() 영\수가 아닌 $\ket{a}$을 $a$에 대응되는 고유함수eigen function 라고 한다.
$$ A \ket{a} = a \ket{a} \tag{2} $$
특히 식 $(2)$를 고유값 방정식eigenvalue equation이라 하고, 주어진 연산자 $A$에 대해서 고유값 방정식을 세워 고유값과 고유함수를 구하는 것을 고유값 문제eigenvalue problem라고 한다.
설명
물리학에서는 고유벡터라는 말보다 고유함수 혹은 고유 상태eigen state라는 말을 더 많이 사용한다. 상태를 나타내는 표기법으로는 홑화살괄호를 써서 $\ket{a}$와 같이 표기하고 [켓에이]라 읽는다. 이런 표기 방식을 디랙 표기법이라고 한다.
수학적 성질
$\ket{a}$가 $A$의 $a$에 대응되는 고유 함수면, 임의의 상수 $c$에 대해서 $c\ket{a}$도 $a$에 대응되는 고유함수이다. 다시말해 같은 고유값에 대응되는 고유 함수들은 서로 상수배이다.
$$ \begin{align*} A(c\ket{a}) &= cA\ket{a} \\ &= ca\ket{a} \\ &= a(c\ket{a}) \end{align*} $$
물리적 해석
양자역학에서 연산자는 물리량을 관측하는 행위로 해석된다. 따라서 아래의 고유값 방정식은 물리량을 관측하는 행위를 수학적으로 표현한 것이다. 파동함수 $\psi$의 물리량 $A$를 관측했을 때 그 값이 $a$가 나온다고 해석할 수 있다.
$$ A \psi = a \psi $$
쉽게 사람의 몸무게를 측정하는 것으로 비유하면 $A$는 체중계 위에 올라가는 행위, $\psi$는 사람, $a$는 $\psi$의 몸무게이다. 이것이 시사하는 바는 굉장히 중요한데, 양자역학에서 입자(파동)의 물리량이 양자화quantized되어있다는 것을 알 수 있기 때문이다. 해밀토니안 연산자 $H$는 입자의 에너지를 관측하는 연산자이다.
$$ H \psi = E \psi $$
그런데 만약 주어진 퍼텐셜 $V$에 대한 위의 고유값 방정식을 풀었을 때 고유값이 연속적으로 나타나지 않고 $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$, $\dots$와 같이 이산적으로 나타난다면, 주어진 조건에서 입자가 가질 수 있는 에너지는 오직 $E_{1}$, $E_{2}$, $E_{3}$, $\dots$ 뿐이라는 것을 의미한다. 즉 에너지가 양자화되어있다는 얘기이다. 그래서 양자역학에서 고유값 문제를 푼다는 것은 입자가 가질수 있는 상태(고유 함수)와 그 상태에서 가질 수 있는 물리량(고유값)을 구하는 것이다.
고유값 방정식의 풀이
$(1)$을 우변이 $0$이 되도록 정리하면
$$ \begin{align*} && A\mathbf{x} &= \lambda \mathbf{x} \\ \implies && A\mathbf{x}-\lambda \mathbf{x} &=0 \\ \implies && (A-\lambda I)\mathbf{x} &=0 \end{align*} $$
여기서 행렬 $(A-\lambda I)$의 역행렬이 존재한다고 가정해보자. 역행렬을 양변에 곱해주면
$$ \mathbf{x}=(A-\lambda I)^{-1} \cdot 0 = 0 $$
이므로 $\mathbf{x} = 0$이다. 그런데 이런 해는 아무 의미가 없으므로 $0$이 아닌 $\mathbf{x}$를 구하는 것에 집중해보자. 그러려면 $(A-\lambda I)$의 역행렬이 존재하면 안된다. 임의의 행렬의 역행렬이 존재하지 않을 조건은 행렬식이 $0$인 것이다. 따라서 $0$이 아닌 $\mathbf{x}$를 구하는 조건은 다음과 같다.
$$ |A-\lambda I |=0 $$
이때 위 식을 특성 방정식characteristic equation이라고 하고 이 특성 방정식의 해가 바로 고유값이다.
고유값 구하기
행렬 $A$가 $A=\begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$로 주어졌다고 하자. 그러면 $A-\lambda I$는 아래와 같다.
$$ \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}-\lambda I = \begin{pmatrix} 6 -\lambda& 2 \\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} $$
특성방정식을 풀면
$$ \begin{align*} \begin{vmatrix} 6 -\lambda & 2 \\ 2 & 3-\lambda \end{vmatrix} &= (\lambda -6)(\lambda -3)-4 \\ &= \lambda^2-9\lambda+14 \\ &=(\lambda-7)(\lambda-2)=0 \end{align*} $$
따라서 두 고유값이 $\lambda=7$, $\lambda=2$라는 것을 알 수 있다.
고유함수 구하기
고유값을 구했다면 각 고유값에 대응되는 고유함수를 구할 수 있다. $\mathbf{x}=\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$라고 하자.
경우1 $\lambda = 7$
$$ \begin{align*} && (A-\lambda I) \mathbf{x}&=0 \\ \implies && \begin{pmatrix} 6-7 & 2 \\ 2 & 3-7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \implies && \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}&= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \implies && \begin{pmatrix} -1x_{1} + 2x_{2} \\ 2x_{1} -4x_{2} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*} $$
이 때 $2x_{1}=x_{2}$가 성립하는 어떤 $x_{1}$, $x_{2}$라도 위 식을 만족시키므로 위 식의 해인 $\mathbf{x}$는 무수히 많다. 그런데 양자역학에서 $\mathbf{x}$는 곧 파동함수이고 파동함수는 규격화하지 않으면 의미가 없다. 따라서 어차피 규격화를 할 것이기 때문에 위 식을 만족하는 아무 $x_{1}$, $x_{2}$의 쌍을 고르면 된다. 어떤 쌍을 선택해도 규격화 과정을 거치면 결국 같은 값이 된다. 여기서 중요한 점은 최대한 간단한 꼴을 고르는 것이다. 괜히 $x_{2}=1000$일 때 $x_{1}=2000$인 해를 선택할 필요는 없다는 말이다. $x_{1}=1$일 때 $x_{2}=2$이므로 고유함수는
$$ \mathbf{x_{1}}=\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
이 때 또 중요한 점은 반드시 규격화를 해야한다는 것이다. 규격화된 고유함수는 다음과 같다.
$$ \mathbf{x}_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$
경우2 $\lambda = 2$
위와 같은 방법으로 규격화된 고유함수 $x_{2}$를 구하면 다음과 같다.
$$ \mathbf{x}_{2}= \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} $$
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