📂행렬대수

스펙트럴 분해

정의 ¹

스펙트럴 이론: $A$ 가 에르미트 행렬인 것과 유니터리 대각화 가능한 것은 동치다: $$A = A^{\ast} \iff A = Q \Lambda Q^{\ast}$$

스펙트럴 이론에서 말하는 $A = Q \Lambda Q^{\ast}$ 를 다음과 같이 고유쌍 $\left\{ \left( \lambda_{k} , e_{k} \right) \right\}_{k=1}^{n}$ 들의 급수꼴로 나타낸 것을 스펙트럴 분해^{spectral decomposition}이라 한다. $$A = \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} e_{k} e_{k}^{\ast}$$

설명

특히 통계학에서, 공분산행렬은 양의 정부호 행렬인 경우가 많고 정부호 행렬은 에르미트행렬이다. 꼭 공분산 행렬이 아니라도 디자인 매트릭스 $X$ 에 대해 $X^{T} X$ 는 대칭행렬, 특히 $X \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 이면 또 다시 에르미트행렬이 된다. 이런 조건 하에서 $A$ 는 스펙트럴 이론에 따라 정규직교 고유벡터 $e_{1} , \cdots , e_{n}$ 들로 이루어진 $Q$ 를 얻을 수 있고, 다시 적어보면 다음과 같다. $$\begin{align*} & A \\ = & Q \Lambda Q^{\ast} \\ = & Q \begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e_{1}^{\ast} \\ e_{2}^{\ast} \\ \vdots \\ e_{n}^{\ast} \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} e_{1} & e_{2} & \cdots & e_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_{1} e_{1}^{\ast} \\ \lambda_{2} e_{2}^{\ast} \\ \vdots \\ \lambda_{n} e_{n}^{\ast} \end{bmatrix} \\ = & \lambda_{1} e_{1} e_{1}^{\ast} + \lambda_{2} e_{2} e_{2}^{\ast} + \cdots + \lambda_{n} e_{n} e_{n}^{\ast} \\ = & \sum_{k=1}^{n} \lambda_{k} e_{k} e_{k}^{\ast} \end{align*}$$