삼차원 유클리드 공간에서 외적이란
정의
$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^3$ 에 대해 다음을 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$의 외적cross product 으로 정의한다.
$$ \begin{align*} \mathbf{x} \times \mathbf{y} =& (x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2}, x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3}, x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}) \\ =& \det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix} \end{align*} $$
설명
참고로 $\mathbf{i} = (1,0,0)$ , $ \mathbf{j} = (0,1,0)$ , $\mathbf{k} = (0,0,1)$ 이다. 내적과 마찬가지로 외적 역시 더욱 일반적인 정의는 가능하지만 실용적인 측면에선 삼차원만 고려하는 것이 보통이다. 이러한 삼차원 공간 상에서의 정의는 구체적으로 벡터곱 이라는 이름도 있으나 엄격하게 구분할때만 쓰이는 편이다. 가장 많이 쓰이는 곳은 단연 물리학으로, 토크나 로렌츠 힘 등을 표현할 때 빈번하게 등장하게 된다. 기하학적인 모양새 역시 오른나사 법칙을 떠올리면 쉽게 상상할 수 있다. 외적의 성질 몇가지를 증명 없이 소개하도록 하겠다.
성질
$\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbb{z} \in \mathbb{R}^3$ 와 $k \in \mathbb{R}$ 에 대해 다음이 성립한다.
(1) $\mathbf{x} \times \mathbf{x} = 0$
(2) 반교환성anti commutativity: $\mathbf{x} \times \mathbf{y} = -\mathbf{y} \times \mathbf{x} $
(3) $(k \mathbf{x}) \times \mathbf{y} = k (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = \mathbf{x} \times (k \mathbf{y})$
(4) $\mathbf{x} \times ( \mathbf{y}+ \mathbb{z} )= (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) + (\mathbf{x} \times \mathbb{z})$
(5) 스칼라 삼중곱: $(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \cdot \mathbb{z} = \mathbf{x} \cdot ( \mathbf{y} \times \mathbb{z})$
(6) 벡터 삼중곱(bac-cab공식): $\mathbf{x} \times ( \mathbf{y} \times \mathbb{z} ) = (\mathbf{x} \cdot \mathbb{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbb{z} $
(7) $|| \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} ||^2 = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} ) ( \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} ) - ( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} )^2$
(8) $|| \mathbf{x} \times \mathbf{y} || = || \mathbf{x} || || \mathbf{y} || \sin{\theta} $
(9) $\mathbf{x} \times \mathbf{y} \ne \mathbb{0}$ 이면 $\mathbf{x} \times \mathbf{y} $은 $\mathbf{x}$와 $\mathbf{y}$ 에 수직이다.
교환법칙이 성립하지 않아 직관적으로 받아들이기 어려운 성질들이 많다. 문제를 풀고 직접 종이에 써보면서 익숙해지도록 하자.