삼차원 유클리드 공간에서 외적이란
📂수리물리 삼차원 유클리드 공간에서 외적이란 정의
x , y ∈ R 3 \mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^3 x , y ∈ R 3 x \mathbf{x} x y \mathbf{y} y cross product 으로 정의한다.
x × y = ( x 2 y 3 − x 3 y 2 , x 3 y 1 − x 1 y 3 , x 1 y 2 − x 2 y 1 ) = det [ i j k x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 ] = [ 0 − x 3 x 2 x 3 0 − x 1 − x 2 x 1 0 ] [ y 1 y 2 y 3 ]
\begin{align*}
\mathbf{x} \times \mathbf{y} =& (x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2}, x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3}, x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1})
\\ =& \det \begin{bmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}
\\ x_{1} & x_{2} & x_{3}
\\ y_{1} & y_{2} & y_{3}
\end{bmatrix}
\\ =& \begin{bmatrix}
0 & -x_{3} & x_{2}
\\ x_{3} & 0 & -x_{1}
\\ -x_{2} & x_{1} & 0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
y_{1}
\\ y_{2}
\\ y_{3}
\end{bmatrix}
\end{align*}
x × y = = = ( x 2 y 3 − x 3 y 2 , x 3 y 1 − x 1 y 3 , x 1 y 2 − x 2 y 1 ) det i x 1 y 1 j x 2 y 2 k x 3 y 3 0 x 3 − x 2 − x 3 0 x 1 x 2 − x 1 0 y 1 y 2 y 3
설명 참고로 i = ( 1 , 0 , 0 ) \mathbf{i} = (1,0,0) i = ( 1 , 0 , 0 ) j = ( 0 , 1 , 0 ) \mathbf{j} = (0,1,0) j = ( 0 , 1 , 0 ) k = ( 0 , 0 , 1 ) \mathbf{k} = (0,0,1) k = ( 0 , 0 , 1 ) 벡터곱 이라고도 불리며, cross product를 직역한 가위곱 이라는 이름도 있다. 외적이라는 이름이 가장 많이 쓰이긴 하나, 이는 outer product 와 혼동될 여지가 있다.
연산 스칼라곱(내적) 벡터곱 외적(텐서곱) 차원 n n n 3 3 3 n n n 표기 u ⋅ v = u T v \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^{\mathsf{T}} \mathbf{v} u ⋅ v = u T v u × v \mathbf{u} \times \mathbf{v} u × v u ⊗ v = u v T \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u}\mathbf{v}^{\mathsf{T}} u ⊗ v = u v T 결과 스칼라 = 1 × 1 =1 \times 1 = 1 × 1 3 3 3 n × n n \times n n × n 값 ∑ i u i v i = u 1 v 1 + ⋯ + u n v n \sum_{i} u_{i}v_{i} = u_{1}v_{1} + \cdots + u_{n}v_{n} ∑ i u i v i = u 1 v 1 + ⋯ + u n v n [ u 2 v 3 − u 3 v 2 u 3 v 1 − u 1 v 3 u 1 v 2 − u 2 v 1 ] \begin{bmatrix} u_{2}v_{3} - u_{3}v_{2} \\ u_{3}v_{1} - u_{1}v_{3} \\ u_{1}v_{2} - u_{2}v_{1} \end{bmatrix} u 2 v 3 − u 3 v 2 u 3 v 1 − u 1 v 3 u 1 v 2 − u 2 v 1 [ u 1 v 1 u 1 v 2 ⋯ u 1 v n u 2 v 1 u 2 v 2 ⋯ u 2 v n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u n v 1 u n v 2 ⋯ u n v n ] \begin{bmatrix} u_{1}v_{1} & u_{1}v_{2} & \cdots & u_{1}v_{n} \\ u_{2}v_{1} & u_{2}v_{2} & \cdots & u_{2}v_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_{n}v_{1} & u_{n}v_{2} & \cdots & u_{n}v_{n}\end{bmatrix} u 1 v 1 u 2 v 1 ⋮ u n v 1 u 1 v 2 u 2 v 2 ⋮ u n v 2 ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ u 1 v n u 2 v n ⋮ u n v n
가장 많이 쓰이는 곳은 단연 물리학으로, 토크나 로렌츠 힘 등을 표현할 때 빈번하게 등장하게 된다. 기하학적인 모양새 역시 오른나사 법칙을 떠올리면 쉽게 상상할 수 있다. 외적의 성질 몇가지를 증명 없이 소개하도록 하겠다.
성질 x , y , z ∈ R 3 \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb{R}^3 x , y , z ∈ R 3 k ∈ R k \in \mathbb{R} k ∈ R
(1) x × x = 0 \mathbf{x} \times \mathbf{x} = 0 x × x = 0
(2) 반교환성 anti commutativity : x × y = − y × x \mathbf{x} \times \mathbf{y} = -\mathbf{y} \times \mathbf{x} x × y = − y × x
(3) ( k x ) × y = k ( x × y ) = x × ( k y ) (k \mathbf{x}) \times \mathbf{y} = k (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = \mathbf{x} \times (k \mathbf{y}) ( k x ) × y = k ( x × y ) = x × ( k y )
(4) x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z ) \mathbf{x} \times ( \mathbf{y}+ \mathbf{z} )= (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) + (\mathbf{x} \times \mathbf{z}) x × ( y + z ) = ( x × y ) + ( x × z )
(5) 스칼라 삼중곱 : ( x × y ) ⋅ z = x ⋅ ( y × z ) (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \cdot \mathbf{z} = \mathbf{x} \cdot ( \mathbf{y} \times \mathbf{z}) ( x × y ) ⋅ z = x ⋅ ( y × z )
(6) 벡터 삼중곱(bac-cab공식) : x × ( y × z ) = ( x ⋅ z ) y − ( x ⋅ y ) z \mathbf{x} \times ( \mathbf{y} \times \mathbf{z} ) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{z} x × ( y × z ) = ( x ⋅ z ) y − ( x ⋅ y ) z
(7) ∣ ∣ x ⋅ y ∣ ∣ 2 = ( x ⋅ x ) ( y ⋅ y ) − ( x ⋅ y ) 2 || \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} ||^2 = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} ) ( \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} ) - ( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} )^2 ∣∣ x ⋅ y ∣ ∣ 2 = ( x ⋅ x ) ( y ⋅ y ) − ( x ⋅ y ) 2
(8) ∣ ∣ x × y ∣ ∣ = ∣ ∣ x ∣ ∣ ∣ ∣ y ∣ ∣ sin θ || \mathbf{x} \times \mathbf{y} || = || \mathbf{x} || || \mathbf{y} || \sin{\theta} ∣∣ x × y ∣∣ = ∣∣ x ∣∣∣∣ y ∣∣ sin θ
(9) x × y ≠ 0 \mathbf{x} \times \mathbf{y} \ne \mathbb{0} x × y = 0 x × y \mathbf{x} \times \mathbf{y} x × y x \mathbf{x} x y \mathbf{y} y
교환법칙이 성립하지 않아 직관적으로 받아들이기 어려운 성질들이 많다. 문제를 풀고 직접 종이에 써보면서 익숙해지도록 하자.
