르벡 적분
📂측도론 르벡 적분 빌드업 리만 적분 의 일반화를 생각하기 이전에 단순 함수 simple function 라는 것을 정의할 필요가 있다.
함숫값이 음이 아닌 ϕ : R → R \phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} ϕ : R → R { a 1 , a 2 , ⋯ , a n } \left\{ a_{1} , a_{2}, \cdots , a_{n} \right\} { a 1 , a 2 , ⋯ , a n } A i = ϕ − 1 ( { a i } ) ∈ M A_{i} = \phi^{-1} \left( \left\{ a_{i} \right\} \right) \in \mathcal{M} A i = ϕ − 1 ( { a i } ) ∈ M ϕ \phi ϕ 단순 함수 라 한다. 단순 함수는 다음 성질들을 가진다.
(i): i ≠ j i \ne j i = j A i ∩ A j = ∅ A_{i } \cap A_{j} = \emptyset A i ∩ A j = ∅ (ii): ⨆ k = 1 n A k = R \displaystyle \bigsqcup_{k=1}^{n} A_{k} = \mathbb{R} k = 1 ⨆ n A k = R (iii): ϕ ( x ) = ∑ k = 1 n a k 1 A k ( x ) \displaystyle \phi (x) = \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbb{1}_{A_{k}}(x) ϕ ( x ) = k = 1 ∑ n a k 1 A k ( x ) 여기서 1 A \mathbb{1}_{A} 1 A 지시함수 다.
단순 함수는 그 정의부터가 너무나 다루기 쉬운 세가지 요소로 구성되어있다. 첫째로 함숫값이 음이 아니라서 부호를 생각할 필요가 없고, 둘째로 유한하므로 더하고 빼기가 자유롭고, 셋째로 가측이다. 수학의 여러분야에서 단순 simple 이란 말이 여러가지로 쓰이긴 하지만 적어도 실해석에선 ‘복잡’의 반대로 생각해도 되겠다. 이렇듯 다루기 쉽고 편리한 단순 함수를 정의하고나면 곧바로 리만 적분을 커버하는 새로운 적분을 생각해볼 수 있다.
정의와 기초성질 단순 함수의 르벡 적분 ϕ \phi ϕ E ∈ M E \in \mathcal{M} E ∈ M 단순 함수 ϕ \phi ϕ 르벡 적분 이라 한다.
∫ E ϕ d m : = ∑ k = 1 n a k m ( A k ∩ E )
\int_{E} \phi dm := \sum_{k=1}^{n} a_{k} m (A_{k} \cap E)
∫ E ϕ d m := k = 1 ∑ n a k m ( A k ∩ E )
단순 함수의 르벡 적분은 다음 성질들을 가진다.
[1]: 모든 a > 0 a>0 a > 0 ∫ E a ϕ d m = a ∫ E ϕ d m \displaystyle \int_{E} a \phi dm = a \int_{E} \phi dm ∫ E a ϕ d m = a ∫ E ϕ d m [2]: 두 단순 함수 ϕ , ψ \phi , \psi ϕ , ψ ϕ ≤ ψ \phi \le \psi ϕ ≤ ψ ∫ E ϕ d m ≤ ∫ E ψ d m \displaystyle \int_{E} \phi dm \le \int_{E} \psi dm ∫ E ϕ d m ≤ ∫ E ψ d m [3]: A , B ∈ M A, B \in \mathcal{M} A , B ∈ M A ∩ B = ∅ A \cap B = \emptyset A ∩ B = ∅ ∫ A ∪ B ϕ d m = ∫ A ϕ d m + ∫ B ϕ d m \displaystyle \int_{A \cup B} \phi dm = \int_{A} \phi dm + \int_{B} \phi dm ∫ A ∪ B ϕ d m = ∫ A ϕ d m + ∫ B ϕ d m 여기서 m m m 르벡 측도 다. 단순 함수라는 조건은 너무나 강력하고 특수하기 때문에 여러군데 써먹을 게 못된다. 여기에 구분구적법의 아이디어 같은 것을 곁들이면 어느정도 만족할만한 ‘르벡 적분’이 완성된다.
가측 함수의 르벡 적분 ϕ \phi ϕ 가측함수 f f f E ∈ M E \in \mathcal{M} E ∈ M 가측함수 f f f 르벡 적분 lebesgue Integral 이라 한다.
∫ E f d m : = sup { ∫ E ϕ d m ∣ 0 ≤ ϕ ≤ f } \int_{E} f dm := \sup \left\{ \left. \int_{E} \phi dm \ \right| \ 0 \le \phi \le f \right\} ∫ E fd m := sup { ∫ E ϕ d m 0 ≤ ϕ ≤ f }
가측 함수의 르벡 적분은 다음 성질들을 가진다.
[1]': 모든 r ≥ 0 r \ge 0 r ≥ 0 ∫ E r f d m = r ∫ E f d m \displaystyle \int_{E} r f dm = r \int_{E} f dm ∫ E r fd m = r ∫ E fd m [2]': 두 가측측 함수 f , g f, g f , g f ≤ g f \le g f ≤ g ∫ E f d m ≤ ∫ E g d m \displaystyle \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm ∫ E fd m ≤ ∫ E g d m [3]': A , B ∈ M A, B \in \mathcal{M} A , B ∈ M A ∩ B = ∅ A \cap B = \emptyset A ∩ B = ∅ ∫ A ∪ B f d m = ∫ A f d m + ∫ B f d m \displaystyle \int_{A \cup B} f dm = \int_{A} f dm + \int_{B} f dm ∫ A ∪ B fd m = ∫ A fd m + ∫ B fd m [4]': A , B ∈ M A, B \in \mathcal{M} A , B ∈ M A ⊂ B A \subset B A ⊂ B ∫ A f d m ≤ ∫ B f d m \displaystyle \int_{A} f dm \le \int_{B} f dm ∫ A fd m ≤ ∫ B fd m [5]': N ∈ N N \in \mathcal{N} N ∈ N ∫ N f d m = 0 \displaystyle \int_{N} f dm = 0 ∫ N fd m = 0 [6]': m ( E ) inf E f ≤ ∫ E f d m ≤ m ( E ) sup E f \displaystyle m(E) \inf_{E} f \le \int_{E} f dm \le m(E) \sup_{E} f m ( E ) E inf f ≤ ∫ E fd m ≤ m ( E ) E sup f 이러한 기초성질 외에, 다음과 같이 널리 쓰이는 정리를 소개한다.
정리 가측 공간 ( X , E ) ( X , \mathcal{E} ) ( X , E ) 가측함수 f ≥ 0 f \ge 0 f ≥ 0 A ∈ E A \in \mathcal{E} A ∈ E ∫ A f d m = 0 ⟺ f = 0 a.e.
\int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.}
∫ A fd m = 0 ⟺ f = 0 a.e. a.e. \text{a.e.} a.e. 거의 어디서나 를 의미한다.
증명 ( ⟹ ) ( \implies ) ( ⟹ )
E : = f − 1 ( 0 , ∞ ) E := f^{-1} ( 0 , \infty) E := f − 1 ( 0 , ∞ ) m ( E ) = 0 m(E) = 0 m ( E ) = 0 f f f f = 0 f=0 f = 0 E n : = f − 1 [ 1 n , ∞ ) \displaystyle E_{n} := f^{-1} \left[ {{1} \over {n}} , \infty \right) E n := f − 1 [ n 1 , ∞ ) E = ⋃ n = 1 ∞ E n \displaystyle E = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} E = n = 1 ⋃ ∞ E n lim n → ∞ E n = E \displaystyle \lim_{n \to \infty} E_{n} = E n → ∞ lim E n = E ϕ n : = 1 n 1 E n ≤ f \displaystyle \phi_{n} := {{1}\over {n}} \mathbb{1}_{E_{n}} \le f ϕ n := n 1 1 E n ≤ f 1 n m ( E n ) = ∫ A ϕ n d m ≤ ∫ A f d m = 0
{{1}\over {n}} m( E_{n} ) = \int_{A} \phi_{n} dm \le \int_{A} f dm = 0
n 1 m ( E n ) = ∫ A ϕ n d m ≤ ∫ A fd m = 0 1 n m ( E n ) ≤ 0
{{1} \over {n}} m(E_{n}) \le 0
n 1 m ( E n ) ≤ 0 n ∈ N n \in \mathbb{N} n ∈ N m ( E n ) = 0 m(E_{n}) = 0 m ( E n ) = 0
[7]: E n ∈ M E_{n} \in \mathcal{M} E n ∈ M E n ⊂ E n + 1 ⟹ m ( ⋃ n = 1 ∞ E n ) = lim n → ∞ m ( E n ) \displaystyle E_{n} \subset E_{n+1} \implies m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (E_{n}) E n ⊂ E n + 1 ⟹ m ( n = 1 ⋃ ∞ E n ) = n → ∞ lim m ( E n )
한편 E n ⊂ E n + 1 E_{n} \subset E_{n+1} E n ⊂ E n + 1 m ( ⋃ n = 1 ∞ E n ) = lim n → ∞ m ( E n ) = m ( E ) = 0
m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (E_{n}) = m(E) = 0
m ( n = 1 ⋃ ∞ E n ) = n → ∞ lim m ( E n ) = m ( E ) = 0
( ⟸ ) ( \impliedby ) ( ⟸ )
f f f f = 0 f=0 f = 0 단순 함수 ϕ \phi ϕ 0 ≤ ϕ ≤ f 0 \le \phi \le f 0 ≤ ϕ ≤ f ϕ \phi ϕ ϕ = 0 \phi = 0 ϕ = 0 ∫ A f d m = 0 \displaystyle \int_{A} f dm = 0 ∫ A fd m = 0
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