📂측도론

르벡 적분

빌드업

리만 적분의 일반화를 생각하기 이전에 단순 함수^{simple function}라는 것을 정의할 필요가 있다.

함숫값이 음이 아닌 $\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 의 치역이 유한 집합 $\left\{ a_{1} , a_{2}, \cdots , a_{n} \right\}$ 이라고 하자. $A_{i} = \phi^{-1} \left( \left\{ a_{i} \right\} \right) \in \mathcal{M}$ 을 만족하면 $\phi$ 를 단순 함수라 한다. 단순 함수는 다음 성질들을 가진다.

• (i): $i \ne j$ 면 $A_{i } \cap A_{j} = \emptyset$
• (ii): $\displaystyle \bigsqcup_{k=1}^{n} A_{k} = \mathbb{R}$
• (iii): $\displaystyle \phi (x) = \sum_{k=1}^{n} a_{k} \mathbb{1}_{A_{k}}(x)$ 는 가측 함수다.

단순 함수는 그 정의부터가 너무나 다루기 쉬운 세가지 요소로 구성되어있다. 첫째로 함숫값이 음이 아니라서 부호를 생각할 필요가 없고, 둘째로 유한하므로 더하고 빼기가 자유롭고, 셋째로 가측이다. 수학의 여러분야에서 단순^simple이란 말이 여러가지로 쓰이긴 하지만 적어도 실해석에선 ‘복잡’의 반대로 생각해도 되겠다. 이렇듯 다루기 쉽고 편리한 단순 함수를 정의하고나면 곧바로 리만 적분을 커버하는 새로운 적분을 생각해볼 수 있다.

단순 함수의 르벡 적분

$\phi$ 가 단순 함수고 $E \in \mathcal{M}$ 이라고 할 때, $\displaystyle \int_{E} \phi dm := \sum_{k=1}^{n} a_{k} m (A_{k} \cap E)$ 를 단순 함수 $\phi$ 의 르벡 적분이라 한다. 르벡 적분은 다음 성질들을 가진다.

• [1]: 모든 $r>0$ 에 대해 $\displaystyle \int_{E} a \phi dm = a \int_{E} \phi dm $
• [2]: 두 단순 함수 $\phi , \psi$ 에 대해 $\phi \le \psi$ 면 $\displaystyle \int_{E} \phi dm \le \int_{E} \psi dm$
• [3]: $A, B \in \mathcal{M}$ 에 대해 $A \cap B = \emptyset$ 면 $\displaystyle \int_{A \cup B} \phi dm = \int_{A} \phi dm + \int_{B} \phi dm$

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• $m$ 은 르벡 측도다.

그러나 단순 함수라는 조건은 너무나 강력하고 특수하기 때문에 여러군데 써먹을 게 못된다. 여기에 구분구적법의 아이디어 같은 것을 곁들이면 어느정도 만족할만한 ‘르벡 적분’이 완성된다.

정의 ¹

$\phi$ 가 단순 함수라고 할 때, 함숫값이 음이 아닌 가측함수 $f$ 와 $E \in \mathcal{M}$ 에 대해 $$\displaystyle \int_{E} f dm := \sup \left\{ \left. \int_{E} \phi dm \ \right| \ 0 \le \phi \le f \right\}$$ 를 가측함수 $f$ 의 르벡 적분^{lebesgue Integral}이라 한다.

기초 성질

르벡 적분은 다음 성질들을 가진다.

• [1]’: 모든 $r \ge 0$ 에 대해 $\displaystyle \int_{E} r f dm = r \int_{E} f dm $
• [2]’: 두 단순 함수 $f, g$ 에 대해 $f \le g$ 면 $\displaystyle \int_{E} f dm \le \int_{E} g dm$
• [3]’: $A, B \in \mathcal{M}$ 에 대해 $A \cap B = \emptyset$ 면 $\displaystyle \int_{A \cup B} f dm = \int_{A} f dm + \int_{B} f dm$
• [4]’: $A, B \in \mathcal{M}$ 에 대해 $A \subset B$ 면 $\displaystyle \int_{A} f dm \le \int_{B} f dm$
• [5]’: $N \in \mathcal{N}$ 이면 $\displaystyle \int_{N} f dm = 0$
• [6]’: $\displaystyle m(E) \inf_{E} f \le \int_{E} f dm \le m(E) \sup_{E} f $

설명

이러한 기본적인 성질 외에도 아래와 같은 정리를 생각해볼 수 있다. 이 정리를 사용하면 $\displaystyle \int_{\mathbb{R}} \mathbb{1}_{\mathbb{Q}} dm = 0$ 과 같이 신박한 계산도 한줄컷으로 끝낼 수 있다. 보이는 것만큼 증명이 간단하진 않지만 한번쯤은 봐둘만한 가치가 있을 것이다.

정리

가측 공간 $( X , \mathcal{E} )$ 의 가측함수 $f \ge 0$ 와 모든 가측 집합 $A \in \mathcal{E}$ 에 대해 $$ \int_{A} f dm = 0 \iff f = 0 \text{ a.e.} $$

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• $\text{a.e.}$ 는 거의 어디서나를 의미한다.

증명

$( \implies )$

$E := f^{-1} ( 0 , \infty)$ 에 대해 $m(E) = 0$ 이면 $f$ 는 거의 어디서나 $f=0$ 다. 증명을 위해 $\displaystyle E_{n} := f^{-1} \left[ {{1} \over {n}} , \infty \right)$ 라고 두면 $\displaystyle E = \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n}$ 이면서 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} E_{n} = E$ 이 성립한다. 여기서 단순 함수 $\displaystyle \phi_{n} := {{1}\over {n}} \mathbb{1}_{E_{n}} \le f$ 를 생각해보면 $$ {{1}\over {n}} m( E_{n} ) = \int_{A} \phi_{n} dm \le \int_{A} f dm = 0 $$ 이므로 $$ {{1} \over {n}} m(E_{n}) \le 0 $$ 즉, 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $m(E_{n}) = 0$ 이다.

[7]: $E_{n} \in \mathcal{M}$, $\displaystyle E_{n} \subset E_{n+1} \implies m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (E_{n})$

한편 $E_{n} \subset E_{n+1}$ 이므로 다음이 성립한다. $$ m \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} E_{n} \right) = \lim_{n \to \infty} m (E_{n}) = m(E) = 0 $$

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$( \impliedby )$

$f$ 가 거의 어디서나 $f=0$ 이고 단순 함수 $\phi$ 가 $0 \le \phi \le f$ 를 만족하므로 $\phi$ 역시 거의 어디서나 $\phi = 0$ 이다. 따라서 $\displaystyle \int_{A} f dm = 0$ 이다.

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