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복소공간의 토폴로지 📂복소해석

복소공간의 토폴로지

개요

복소수의 집합 C\mathbb{C} 를 위상공간으로써 다루기 위한 정의들을 소개한다. 위상공간이라고는 하나 대부분은 거리공간에서의 정의를 복소집합으로 특수화했다. 해석개론을 열심히 공부했다면 별로 어렵지 않게 받아들일 수 있다.

정의 1

α∈C\alpha \in \mathbb{C} 이고 δ>0\delta > 0 이고 S⊂CS \subset \mathbb{C} 라 하자.

집합의 개폐

  1. 다음과 같은 집합을 α\alpha 의 오픈 네이버후드open Neighborhood 혹은 오픈 볼open Ball이라 한다. B(α;δ):={z∈C:∣z−α∣<δ} B \left( \alpha ; \delta \right) := \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z - \alpha \right| < \delta \right\} 애스터리스크asterisk ∗\ast 가 윗첨자로 올라간 경우는 중심인 α\alpha 를 제외한 것이다. 예를 들어 B∗(α;δ)B^{\ast} \left( \alpha ; \delta \right) 는 다음과 같이 정의되며, 뚫린 볼punctured Ball이라 부른다. B∗(α;δ):={z∈C:0<∣z−α∣<δ} B^{\ast} \left( \alpha ; \delta \right) := \left\{ z \in \mathbb{C} : 0 < \left| z - \alpha \right| < \delta \right\}
  2. α\alpha 의 어떤 오픈 볼이 SS 에 포함되면 α\alpha 를 SS 의 내점interior point이라 한다. ∃δ:B(α,δ)⊂S \exist \delta : B \left( \alpha , \delta \right) \subset S
  3. α\alpha 의 모든 뚫린 오픈 볼이 SS 와 서로소가 아니면 α\alpha 를 SS 의 집적점limit point이라 한다. ∀δ:B∗(α,δ)∩S≠∅ \forall \delta : B^{\ast} \left( \alpha , \delta \right) \cap S \ne \emptyset
  4. SS 의 모든 점이 SS 의 내점이면 SS 가 열려있다open고 하고 SS 가 SS 의 모든 집적점을 포함하면 닫혀있다closed고 한다.

유계와 컴팩트

  1. S⊂CS \subset \mathbb{C} 의 모든 원소 z∈Sz \in S 에 대해 ∣z∣≤M\left| z \right| \le M 을 만족하는 양수 M>0M > 0 이 존재하면 SS 가 바운디드bounded라고 한다.
  2. 클로즈드면서 바운디드면 컴팩트compact라고 한다.

복소영역

  1. S⊂CS \subset \mathbb{C} 의 모든 두 점이 선분들로 이루어진 경로로 이어질 수 있다면 SS 를 (다각) 연결(Polygonally) Connected 집합이라 한다.
  2. 공집합이 아니고 오픈인 연결 집합 R⊂C\mathscr{R} \subset \mathbb{C} 을 영역region이라 하고, 특히 복소공간에서의 영역이라는 의미에서 복소영역complex region이라 강조하자.

따름정의

위 단락에서는 꼭 복소해석이 아니라도 수학에서 보편적으로 필수적인 부분만을 요약했다. 당연히 다음과 같은 정의와 표기들도 필요할 때가 있다.

  1. 다음과 같은 집합을 α\alpha 의 클로즈드 네이버후드closed Neighborhood 혹은 클로즈드 볼closed Ball라 한다. B[α;δ]:={z∈C:∣z−α∣≤δ} B \left[ \alpha ; \delta \right] := \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z - \alpha \right| \le \delta \right\}
  2. α\alpha 의 모든 오픈 네이버후드가 SS 와 ScS^{c} 의 점을 포함하면 α\alpha 를 경계점boundary point이라 한다. α\alpha 가 내점도 아니고 경계점도 아니면 외점exterior point라 한다.
  3. SS 의 모든 집적점의 집합을 SS 의 폐포closure라 하고 S‾\overline{S} 와 같이 나타낸다.
  4. C∖S\mathbb{C} \setminus S 가 연결 집합이면 연결 집합 SS 를 단순 연결simply Connected이라고 한다.

같이보기

복소수 집합 C\mathbb{C} 는 체 공리를 따를 뿐만 아니라 C\mathbb{C}-벡터스페이스고 복소수의 모듈러스 ∣⋅∣\left| \cdot \right| 가 주어짐에 따라 놈드 스페이스기도 해서 거리공간이다. 따라서 거리공간에 이미 익숙하다면 복소공간이라고 새로이 배워야할 것은 없다.

  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p10~12. ↩︎