복소공간의 토폴로지 📂복소해석

복소공간의 토폴로지

개요

복소수의 집합 $\mathbb{C}$ 를 위상공간으로써 다루기 위한 정의들을 소개한다. 위상공간이라고는 하나 대부분은 거리공간에서의 정의를 복소집합으로 특수화했다. 해석개론을 열심히 공부했다면 별로 어렵지 않게 받아들일 수 있다.

$\alpha \in \mathbb{C}$ 이고 $\delta > 0$ 이고 $S \subset \mathbb{C}$ 라 하자.

다음과 같은 집합을 $\alpha$ 의 오픈 네이버후드^{open Neighborhood} 혹은 오픈 볼^{open Ball}이라 한다. $$ B \left( \alpha ; \delta \right) := \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z - \alpha \right| < \delta \right\} $$ 애스터리스크^asterisk $\ast$ 가 윗첨자로 올라간 경우는 중심인 $\alpha$ 를 제외한 것이다. 예를 들어 $B^{\ast} \left( \alpha ; \delta \right)$ 는 다음과 같이 정의되며, 뚫린 볼^{punctured Ball}이라 부른다. $$ B^{\ast} \left( \alpha ; \delta \right) := \left\{ z \in \mathbb{C} : 0 < \left| z - \alpha \right| < \delta \right\} $$
$\alpha$ 의 어떤 오픈 볼이 $S$ 에 포함되면 $\alpha$ 를 $S$ 의 내점^{interior point}이라 한다. $$ \exist \delta : B \left( \alpha , \delta \right) \subset S $$
$\alpha$ 의 모든 뚫린 오픈 볼이 $S$ 와 서로소가 아니면 $\alpha$ 를 $S$ 의 집적점^{limit point}이라 한다. $$ \forall \delta : B^{\ast} \left( \alpha , \delta \right) \cap S \ne \emptyset $$
$S$ 의 모든 점이 $S$ 의 내점이면 $S$ 가 열려있다^open고 하고 $S$ 가 $S$ 의 모든 집적점을 포함하면 닫혀있다^closed고 한다.

$S \subset \mathbb{C}$ 의 모든 원소 $z \in S$ 에 대해 $\left| z \right| \le M$ 을 만족하는 양수 $M > 0$ 이 존재하면 $S$ 가 바운디드^bounded라고 한다.
클로즈드면서 바운디드면 컴팩트^compact라고 한다.

$S \subset \mathbb{C}$ 의 모든 두 점이 선분들로 이루어진 경로로 이어질 수 있다면 $S$ 를 (다각) 연결^{(Polygonally) Connected} 집합이라 한다.
공집합이 아니고 오픈인 연결 집합 $\mathscr{R} \subset \mathbb{C}$ 을 영역^region이라 하고, 특히 복소공간에서의 영역이라는 의미에서 복소영역^{complex Region}이라 강조하자.

위 단락에서는 꼭 복소해석이 아니라도 수학에서 보편적으로 필수적인 부분만을 요약했다. 당연히 다음과 같은 정의와 표기들도 필요할 때가 있다.

다음과 같은 집합을 $\alpha$ 의 클로즈드 네이버후드^{closed Neighborhood} 혹은 클로즈드 볼^{closed Ball}라 한다. $$ B \left[ \alpha ; \delta \right] := \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z - \alpha \right| \le \delta \right\} $$
$\alpha$ 의 모든 오픈 네이버후드가 $S$ 와 $S^{c}$ 의 점을 포함하면 $\alpha$ 를 경계점^{boundary point}이라 한다. $\alpha$ 가 내점도 아니고 경계점도 아니면 외점^{exterior point}라 한다.
$S$ 의 모든 집적점의 집합을 $S$ 의 폐포^closure라 하고 $\overline{S}$ 와 같이 나타낸다.
$\mathbb{C} \setminus S$ 가 연결 집합이면 연결 집합 $S$ 를 단순 연결^{simply Connected}이라고 한다.

복소수 집합 $\mathbb{C}$ 는 체 공리를 따를 뿐만 아니라 $\mathbb{C}$-벡터스페이스고 복소수의 모듈러스 $\left| \cdot \right|$ 가 주어짐에 따라 놈드 스페이스기도 해서 거리공간이다. 따라서 거리공간에 이미 익숙하다면 복소공간이라고 새로이 배워야할 것은 없다.

거리공간에서 볼과 열린 집합 닫힌 집합
거리공간에서 근방, 집적점, 열림, 닫힘
거리공간에서의 내부 폐포 경계
거리공간에서 컴팩트
하이네-보렐 정리 증명: 원래 컴팩트를 정의하기 위해서는 훨씬 어려운 논의가 있어야하지만, 복소해석에선 간단히 유계면서 폐집합이면 컴팩트와 동치인 것으로 정의해도 무방하다.
위상수학에서 경로연결성: 사실 정의에서 소개한 연결성은 경로연결성에 더 가까운데, 경로연결이면 연결이고 위상수학에서 일반적인 연결성의 정의를 이해하기 위해서는 위상적인 사고방식이 꽤 탄탄하게 자리잡아야 하기 때문에 대신 ‘선분으로 연결되는’ 식의 기하적인 직관을 빌린 것이다.
거리공간에서 연결집합