複素空間の位相空間学 📂複素解析

複素空間の位相空間学

概要

複素数の集合 $\mathbb{C}$ を位相空間として扱うための定義を紹介する。位相空間とはいうものの，大部分は距離空間での定義を複素集合に特殊化したものである。해석개론を熱心に勉強していれば特に難しくない。

定義 ¹

$\alpha \in \mathbb{C}$ であり $\delta > 0$ であり $S \subset \mathbb{C}$ とする。

集合の開閉

次のような集合を $\alpha$ の オープン近傍^{open Neighborhood} または オープン球^{open Ball}という。 $$ B \left( \alpha ; \delta \right) := \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z - \alpha \right| < \delta \right\} $$ アスタリスク^asterisk $\ast$ が上付きになっている場合は中心である $\alpha$ を除いたものである。例えば $B^{\ast} \left( \alpha ; \delta \right)$ は次のように定義され、点を除いた開球^{punctured Ball}と呼ぶ。 $$ B^{\ast} \left( \alpha ; \delta \right) := \left\{ z \in \mathbb{C} : 0 < \left| z - \alpha \right| < \delta \right\} $$
$\alpha$ のあるオープン球が $S$ に含まれるなら $\alpha$ を $S$ の 内部点^{interior point}という。 $$ \exist \delta : B \left( \alpha , \delta \right) \subset S $$
$\alpha$ のすべての点を除いたオープン球が $S$ と空でない交わりを持つなら $\alpha$ を $S$ の 集積点^{limit point}という。 $$ \forall \delta : B^{\ast} \left( \alpha , \delta \right) \cap S \ne \emptyset $$
$S$ のすべての点が $S$ の内部点であれば $S$ は 開いている^openといい，$S$ が $S$ のすべての集積点を含むなら 閉じている^closedという。すべての開集合の集合，すなわち次の $\mathcal{T}$ を複素平面の 通常（標準）位相^{usual(standard) topology}という。 $$ \mathcal{T} := \left\{ U \subset \mathbb{C} : \forall z \in U, \exists \delta > 0 \text{ such that } B(z, \delta) \subset U \right\} $$

有界とコンパクト

$S \subset \mathbb{C}$ のすべての元 $z \in S$ に対して $\left| z \right| \le M$ を満たす正数 $M > 0$ が存在すれば $S$ は有界^boundedという。
閉集合かつ有界なら コンパクト^compactという。

複素領域

$S \subset \mathbb{C}$ の任意の二点が線分からなる経路で結べるなら $S$ を （多角形）連結^{(Polygonally) Connected}集合という。
空集合でなく開かつ連結な集合 $\mathscr{R} \subset \mathbb{C}$ を領域^regionといい，特に複素平面における領域という意味で 複素領域^{complex region}と強調しておく。

定義

前節では必ずしも複素解析に限らない，数学で普遍的に必要な部分のみを要約した。もちろん次のような定義や表記も場合によっては必要になる。

次のような集合を $\alpha$ の 閉近傍^{closed Neighborhood} または閉球^{closed Ball}という。 $$ B \left[ \alpha ; \delta \right] := \left\{ z \in \mathbb{C} : \left| z - \alpha \right| \le \delta \right\} $$
$\alpha$ のすべてのオープン近傍が $S$ と $S^{c}$ の点を含むなら $\alpha$ を 境界点^{boundary point}という。$\alpha$ が内部点でも境界点でもなければ外点^{exterior point}という。
$S$ のすべての集積点の集合を $S$ の閉包^closureという，$\overline{S}$ のように表す。
$\mathbb{C} \setminus S$ が連結集合であれば，連結集合 $S$ を単純連結^{simply Connected}という。