📂동역학

SIRV 모델: 백신과 돌파감염

개요

SIRV 모델은 SIR 모델에 백신을 추가한 역학 구획 모델이다.

모델

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S - vS \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \\ {{d V} \over {d t}} =& vS \end{align*} $$

변수

• $S(t)$: $t$ 시점에서 병에 걸릴 수 있는^susceptible 집단의 개체수를 나타낸다.
• $I(t)$: $t$ 시점에서 병을 옮길 수 있는^infectious 집단의 개체수를 나타낸다.
• $R(t)$: $t$ 시점에서 회복된^recovered 집단의 개체수를 나타낸다.
• $V(t)$: $t$ 시점에서 백신접종된^vaccinated 집단의 개체수를 나타낸다.
• $N(t) = S(t) + I(t) + R(t) + V(t)$: 전체 개체수를 나타낸다.

파라미터

• $\beta>0$: 전염률^{infection rate}이다.
• $\mu>0$: 회복률^{recovery rate}이다.
• $v>0$: 백신 공급^{vaccine supply}이다.

설명

말라리아^malaria는 얼룩날개모기속에 의해 매개되는 인류 최악의 전염병으로써, 현재도 전세계 약 2억 명의 환자가 이 병으로 고통받고 있다. 말라리아를 퇴치하는 방안 중 하나는 매개자인 모기를 멸종시키는 것인데, 이게 가능했다면 진작에 실행되었을 것이고 현실적으로는 수행하기 어려운 전략이다.

이런 난제에 대한 한가지 방법이 바로 백신 및 예방약이다. 보통은 긴 시간이 필요한 방법이고 근본적으로 문제를 해결하는 것은 아니지만, 질병의 전파가 더 이상 이어지기 힘들 정도로 $S$ 의 수를 줄이는 식의 접근이다. 그렇다고 멀쩡하게 살아있는 $S$ 를 죽이는 건 아니고(죽이는 게 가능하더라도 $I$ 를 죽이는 게 효율적일 것이다), 백신을 통해 $S$ 를 $V$ 로 바꿔서 전염력^{force of infection} $\beta S I$ 를 간접적으로 내리는 것이다.

집단 면역 ¹

윗 문단에 이어, 집단의 다수가 면역력을 가져서 질병 전파가 종식되는 것을 집단 면역^{herd immunity}이라 한다. 다 같이 병에 걸린 뒤에 면역이 생기든 백신으로 면역이 생기든 집단 면역이라고 부르긴 하는데, 그정도로 많이 병에 걸렸다면 병을 막은 게 아니라 쳐맞은 것이다. 따라서 집단 면역이라고 하면 보통 백신에 의한 방역 전략을 말한다. 이러한 표현은 실제로 모든 개개인이 면역을 갖추지 않더라도 집단적으로 질변 확산을 종식시킨다는 의미에서 나왔다.

한편 전체 집단에서 백신에 접종된 비율 $C = V(t)/N(t)$ 을 커버리지^coverage라 하는데, 우리는 자연스럽게 집단 면역을 형성하는 최소한의 커버리지 $C^{\ast}$ 에 관심을 가지게 된다. 이는 달리 말해 백신을 통해 실질감염재생산수 $\mathcal{R}$ 을 $1$ 밑으로 떨어뜨리는 값을 찾는 것이다. 실질감염재생산수는 주로 기초감염재생산수 $\mathcal{R}_{0}$에 전체에서 $S$ 가 차지하는 비율인 $S/N$ 을 곱해서 구하는데, 질병 확산이 시작된 시점에서 $N(0) = S(0) + V(0)$ 이라 한다면 우리의 목표는 $$ \begin{align*} \mathcal{R} =& R_{0} {{ S } \over { N }} \\ =& R_{0} \left( 1 - {{ V } \over { N }} \right) \\ =& R_{0} \left( 1 - C \right) < 1 \end{align*} $$ 을 만족하는 최소값 $C = C^{\ast}$ 을 구하는 것이다. 간단히 계산해보면 $$ R_{0} \left( 1 - C^{\ast} \right) < 1 \iff C^{\ast} = {{ \mathcal{R}_{0} - 1 } \over { \mathcal{R}_{0} }} $$ 이다. 예로써 1956년부터 1968년까지 잉글랜드와 웨일즈에서의 홍역^measles은 $\mathcal{R}_{0}$ 가 무려 $13$ 에 달했는데, 이를 막아내기 위한 최소한의 커버리지는 약 $92 \%$ 에 달한다². $$ C^{\ast} = {{ 13 - 1 } \over { 13 }} \approx 92.3077 \cdots \approx 92 \% $$

변형

돌파 감염

처음 제시된 모델은 백신에 접종되면 절대로 질병에 감염되지 않는다고 했지만, 현실 속에서는 백신을 접종했음에도 불구하고 병에 걸리는 돌파 감염^{breakthrough infection}이 보고된다. 백신의 효과 $\sigma$ 를 $0$ 부터 $1$ 사이의 값으로 나타낸다면, 돌파 감염을 반영한 모델은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S - vS \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} \left( S + (1-\sigma) V \right) I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \\ {{d V} \over {d t}} =& - {{ \beta (1-\sigma) } \over { N }} I V + vS \end{align*} $$

돌파감염이 고려되지 않은 모델에서는 $\sigma = 1$ 인 것으로 볼 수 있다.