생성함수란?
정의
시퀀스 $\left\{ a_{n} \right\}$ 에 대해 $$ g(x) =\sum \limits _{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}= a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^2 + \cdots $$ 와 같은 꼴로 나타나는 함수 $g$를 수열 $\left\{ a_{n}\right\}$ 의 생성함수 또는 간단히 생성함수라 한다. 수열이 $a_{n}=a_{n}(x)$인 경우 아래와 같이 표기하기도 한다. $$ G(x,t)=\sum \limits _{n=0}^{\infty}a_{n}(x)t^{n} $$
설명
예리한 독자라면 눈치챘겠지만 테일러 급수 역시 저 비슷한 꼴을 하고 있다. 예리하지 못한 독자라도 고등학교때 익히 이와 비슷한 형태를 ‘멱급수’라는 이름으로 접한 적이 있을 것이다. 등차수열과 등비수열의 합을 구하는 과정을 수리적으로 이해하고 있는지 확인하기 좋아 시험문제로는 아주 제격이기 때문이다.
역사적으로 ‘생성함수’라는 이름은 라플라스가 명명한 것으로 알려져 있다. 양변을 $n$ 번 미분한 후 $x=0$ 을 대입하면 $g^{(n)} (x) = a_{n} n!$ 이므로 $\displaystyle a_{n} = {{g^{(n)} (x) } \over {n!}}$ 을 구할 수 있다. 그런 센스에서 생성 함수는 원래 주어진 수열을 복원 혹은 ‘생성할 수 있는 함수’로 생각할 수 있는 것이다.
특별한 케이스로는 앞서 언급했듯 매클로린 급수 $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} {{f^{(n)} (0)}\over{n!}} {x}^n$ 이 있다. 매클로린 급수는 아예 수열 $a_{n}$ 을 주어진 함수의 $n$ 차 미분계수로 취하고 있는 경우다.
$1 = a_{0} = a_{1} = a_{2} = \cdots$, 즉 모든 항의 계수가 1인 경우 반갑게도 무한등비급수 $$ g(x) = 1 + x + x^2 + \cdots = {{1} \over {1-x}} $$ 가 된다. 한편 $a_{n} = n+1$, 즉 자연수의 수열인 경우는 $\displaystyle g(x) = {{1} \over {1-x}}$ 의 양변을 $x$ 로 미분한 것과 같다. 그 결과는 물론 다음과 같다. $$ g ' (x) = 1 + 2 x + 3 x^2 + \cdots = {{1} \over {(1-x)^2 }} $$ 생성 함수에 대한 연구는 언뜻 보기에 전혀 쓸모가 없어 보이지만 멱함수로 일반화되어서 통계학을 위시한 여러 응용수학에 폭 넓게 사용되고 있다. (놀랍지도 않지만, 오일러는 이러한 이름이 붙기도 전부터 해석학과 수론의 문제를 풀기 위해 사용하고 있었다고 한다.)