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쇼지-오자키 국소 선형화 메소드 📂확률미분방정식

쇼지-오자키 국소 선형화 메소드

빌드업 1

dXt=f(t,Xt)dt+g(Xt)dWt d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t} 디퓨전 gg 가 XtX_{t} 에만 종속이고 시간 tt 에 독립인 확률미분방정식이 위와 같이 주어져 있다고 하자. YtY_{t} 가 어떤 상수 σ\sigma 에 대해 ϕ’(Xt)g(Xt)=σ\phi ’ \left( X_{t} \right) g \left( X_{t} \right) = \sigma 인 ϕ∈C2\phi \in C^{2} 에 의해 Yt:=ϕ(Xt)Y_{t} := \phi \left( X_{t} \right) 와 같이 나타난다고 하면, 이토 공식에 따라 어떤 함수 bb 에 대해 dYt=(fϕ’+12g2ϕ’’)dt+gϕ’dWt=b(Xt)dt+σdWt \begin{align*} d Y_{t} =& \left( f \phi’ + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} \phi’’ \right) dt + g \phi’ d W_{t} \\ =& b \left( X_{t} \right) dt + \sigma d W_{t} \end{align*} 와 같이 바꾸거나, 디퓨전이 상수 11 이 되도록하는 람페르티 변환을 생각해보자.

메소드

dXt=f(Xt)dt+σdWt d X_{t} = f \left( X_{t} \right) dt + \sigma d W_{t}

다음은 간격이 hh 으로 일정한 등간격시점에서 주어진 미분방정식의 수치적 해를 구하는 메소드다.

오자키 메소드 2

Xt+h=exp⁡(Lth)Xt+σexp⁡(2Lth)−12Lt X_{t + h} = \exp \left( L_{t} h \right) X_{t} + \sigma \sqrt{ {{ \exp \left( 2 L_{t} h \right) - 1 } \over { 2 L_{t} }} } 여기서 LtL_{t} 는 다음과 같이 구해진다. Lt=1hlog⁡[1+Jt−1(exp⁡(Jth)−1)Ft]Jt=(∂f(x)∂x)x=xtFt=f(xt)xt \begin{align*} L_{t} =& {{ 1 } \over { h }} \log \left[ 1 + J_{t}^{-1} \left( \exp \left( J_{t} h \right) - 1 \right) F_{t} \right] \\ J_{t} =& \left( {{ \partial f(x) } \over { \partial x }} \right)_{x = x_{t}} \\ F_{t} =& {{ f \left( x_{t} \right) } \over { x_{t} }} \end{align*} JtJ_{t} 는 야코비안이다.

쇼지-오자키 메소드 3

Xt+h=Xt+f(t,Xt)Lt(exp⁡(Lth)−1)+MtLt2[exp⁡(Lth−1)−Lth]+σ∫tt+hexp⁡[Lt(t+h−u)]dWu \begin{align*} X_{t + h} =& X_{t} + {{ f \left( t, X_{t} \right) } \over { L_{t} }} \left( \exp \left( L_{t} h \right) -1 \right) + {{ M_{t} } \over { L_{t}^{2} }} \left[ \exp \left( L_{t} h - 1 \right) - L_{t} h \right] \\ & + \sigma \int_{t}^{t+h} \exp \left[ L_{t} \left( t + h - u \right) \right] d W_{u} \end{align*} 여기서 LtL_{t} 와 MtM_{t} 는 다음과 같이 구해진다. Lt=∂f∂x(t,Xt)Mt=σ22∂2f∂x2(t,Xt)+∂f∂t(t,Xt) \begin{align*} L_{t} =& {{ \partial f } \over { \partial x }} \left( t, X_{t} \right) \\ M_{t} =& {{ \sigma^{2} } \over { 2 }} {{ \partial^{2} f } \over { \partial x^{2} }} \left( t, X_{t} \right) + {{ \partial f } \over { \partial t }} \left( t, X_{t} \right) \end{align*}

설명

국소 선형화local Linearization는 아주 짧은 시간 hh 동안 드리프트drift을 선형 함수로 근사시키는 어프로치로써, 주로 오자키 토루와 쇼지 이사오에 의해 활발히 연구되었다. 쇼지 정리4에 따르면 쇼지-오자키 국소 선형화 메소드 X~t\tilde{X}_{t} 의 pp차 수렴률은 22, 다시 말해 다음이 성립한다. Es∣Xt−X~t∣p=O((t−s)2p) E_{s} \left| X_{t} - \tilde{X}_{t} \right|^{p} = O \left( (t-s)^{2p} \right)

  1. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p206. ↩︎

  2. Ozaki. (1993). A local linearization approach to nonlinear filtering ↩︎

  3. Shoji, Ozaki. (1998). Estimation for nonlinear stochastic differential equations by a local linearization method ↩︎

  4. Shoji. (1998). Approxiamtion of Continuous Time Stochastic Processes by a Local Linearization Method ↩︎