logo

쇼지-오자키 국소 선형화 메소드 📂확률미분방정식

쇼지-오자키 국소 선형화 메소드

빌드업 1

$$ d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( X_{t} \right) d W_{t} $$ 디퓨전 $g$ 가 $X_{t}$ 에만 종속이고 시간 $t$ 에 독립인 확률미분방정식이 위와 같이 주어져 있다고 하자. $Y_{t}$ 가 어떤 상수 $\sigma$ 에 대해 $\phi ’ \left( X_{t} \right) g \left( X_{t} \right) = \sigma$ 인 $\phi \in C^{2}$ 에 의해 $Y_{t} := \phi \left( X_{t} \right)$ 와 같이 나타난다고 하면, 이토 공식에 따라 어떤 함수 $b$ 에 대해 $$ \begin{align*} d Y_{t} =& \left( f \phi’ + {{ 1 } \over { 2 }} g^{2} \phi’’ \right) dt + g \phi’ d W_{t} \\ =& b \left( X_{t} \right) dt + \sigma d W_{t} \end{align*} $$ 와 같이 바꾸거나, 디퓨전이 상수 $1$ 이 되도록하는 람페르티 변환을 생각해보자.

메소드

$$ d X_{t} = f \left( X_{t} \right) dt + \sigma d W_{t} $$

다음은 간격이 $h$ 으로 일정한 등간격시점에서 주어진 미분방정식의 수치적 해를 구하는 메소드다.

오자키 메소드 2

$$ X_{t + h} = \exp \left( L_{t} h \right) X_{t} + \sigma \sqrt{ {{ \exp \left( 2 L_{t} h \right) - 1 } \over { 2 L_{t} }} } $$ 여기서 $L_{t}$ 는 다음과 같이 구해진다. $$ \begin{align*} L_{t} =& {{ 1 } \over { h }} \log \left[ 1 + J_{t}^{-1} \left( \exp \left( J_{t} h \right) - 1 \right) F_{t} \right] \\ J_{t} =& \left( {{ \partial f(x) } \over { \partial x }} \right)_{x = x_{t}} \\ F_{t} =& {{ f \left( x_{t} \right) } \over { x_{t} }} \end{align*} $$ $J_{t}$ 는 야코비안이다.

쇼지-오자키 메소드 3

$$ \begin{align*} X_{t + h} =& X_{t} + {{ f \left( t, X_{t} \right) } \over { L_{t} }} \left( \exp \left( L_{t} h \right) -1 \right) + {{ M_{t} } \over { L_{t}^{2} }} \left[ \exp \left( L_{t} h - 1 \right) - L_{t} h \right] \\ & + \sigma \int_{t}^{t+h} \exp \left[ L_{t} \left( t + h - u \right) \right] d W_{u} \end{align*} $$ 여기서 $L_{t}$ 와 $M_{t}$ 는 다음과 같이 구해진다. $$ \begin{align*} L_{t} =& {{ \partial f } \over { \partial x }} \left( t, X_{t} \right) \\ M_{t} =& {{ \sigma^{2} } \over { 2 }} {{ \partial^{2} f } \over { \partial x^{2} }} \left( t, X_{t} \right) + {{ \partial f } \over { \partial t }} \left( t, X_{t} \right) \end{align*} $$

설명

국소 선형화local Linearization는 아주 짧은 시간 $h$ 동안 드리프트drift을 선형 함수로 근사시키는 어프로치로써, 주로 오자키 토루와 쇼지 이사오에 의해 활발히 연구되었다. 쇼지 정리4에 따르면 쇼지-오자키 국소 선형화 메소드 $\tilde{X}_{t}$ 의 $p$차 수렴률은 $2$, 다시 말해 다음이 성립한다. $$ E_{s} \left| X_{t} - \tilde{X}_{t} \right|^{p} = O \left( (t-s)^{2p} \right) $$

  1. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p206. ↩︎

  2. Ozaki. (1993). A local linearization approach to nonlinear filtering ↩︎

  3. Shoji, Ozaki. (1998). Estimation for nonlinear stochastic differential equations by a local linearization method ↩︎

  4. Shoji. (1998). Approxiamtion of Continuous Time Stochastic Processes by a Local Linearization Method ↩︎